上海市宝山区2020-2021学年九年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-06-18 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$ B、 $a^{3} - a^{2} = a$ C、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{3}$

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2. 我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消灭绝对贫困的艰巨任务，把“12.8万”用科学记数法表示应是（）

A、 $12.8 \times 10^{4}$ B、 $1.28 \times 10^{5}$ C、 $12.8 \times 10^{5}$ D、 $1.28 \times 10^{6}$

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3. 如果函数 $y = 2 x + m$ 的图像经过第二象限，那么 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m > 0$ B、 $m \geq 0$ C、 $m < 0$ D、 $m \leq 0$

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4. 若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正 $n$ 边形的边数为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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5. 学校组织朗诵比赛，有11位同学晋级决赛，每位选手得分各不相同．如果小杰想要确定自己是否进入前6名，那么除了自己的得分以外，他还要了解这11名同学得分的（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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6. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，如果点 $E$ 是边 $A D$ 的中点，且 $∠ A = ∠ A E C$ ，那么下列结论错误的是（）

A、 $C E = C D$ B、 $B F = 2 D F$ C、 $A B = \frac{5}{2} E F$ D、 $S_{四边形 A B F E} = 5 S_{Δ D E F}$

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二、填空题

7. 因式分解： $m^{2} - n^{2} =$ ．

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8. 方程 $\sqrt{3 x + 4} = x$ 的根是．

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9. 已知一元二次方程 $\frac{1}{2} x^{2} - 2 x - m = 0$ 有实数根，那么 $m$ 的取值范围是．

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10. 不透明的布袋里有2个黄球，4个红球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率是．

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11. 为了解六年级学生掌握游泳技能的情况．在全区六年级7200名学生中，随机抽取了600名学生，结果有240名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生数约为人．

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12. 已知点 $A (- 3 ， y_{1})$ 和点 $B (- \frac{2}{3} ， y_{2})$ 都在二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + m (a > 0)$ 的图像上，那么 $y_{1} - y_{2}$ 0．（结果用 $> ， < ， =$ 表示）

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13. 《九章算术》记载了这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万，问善田几何?”意思是：当下良田1亩，价值300钱：薄田7亩，价值500钱．现在共买1顷，价值10000钱．根据条件，良田买了亩．

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14. 如图， $A C / / B D ， ∠ C = 72 ° ， ∠ A B C = 70 °$ ，那么 $∠ A B D$ 的度数为．

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15. 如图，已知等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C ， B C = 3 A D$ ，如果 $\vec{B C} = \vec{a} ， \vec{B D} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{A B} =$ ．

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16. 如图， $A B$ 是圆 $O$ 的直径， $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{D C} = \overset{⌢}{C B} ， A C$ 与 $O D$ 交于点 $E$ ．如果 $A C = 3$ ，那么 $D E$ 的长为．

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17. 我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点 $A (2 ， 3)$ 和点 $B (3 ， 2)$ 为一对“关联点对”．如果反比例函数 $y = \frac{10}{x}$ 在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为 $3 \sqrt{2}$ ，那么这对“关联点对”中，距离 $x$ 轴较近的点的坐标为．

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18. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ． A D = 5$ ，点 $E$ 是 $B C$ 边上一点，联结 $A E$ ，将 $A E$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90^{°}$ ，点 $A$ 的对应点记为点 $F$ ，如果点 $F$ 在对角线 $B D$ 上，那么 $\frac{B F}{D F} =$ ．

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三、解答题

19. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 2} + \frac{1}{2 - \sqrt{3}} - 27^{\frac{2}{3}} + | \sqrt{3} - 2 |$

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20. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 5 x > 3 x - 8 \\ \frac{x + 2}{4} \geq x - 1 \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来，

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21. 已知直线 $y = x + m$ 经过点 $A (2 ， 3)$ ，且与 $x$ 轴交于点 $B$ ，

(1)、求点 $B$ 的坐标：

(2)、如果一个反比例函数的图象与线段 $B A$ 的延长线交于点 $D$ ，且 $B A ： A D = 3 ： 2$ ，求这个反比例函数的解析式．

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22. 如图是某地摩天轮（图1）和示意图（图2），已知线段 $B C$ 经过圆心 $D$ 且垂直于地面，垂足为点 $C$ ，当座舱在点 $A$ 时，测得摩天轮顶端点 $B$ 的仰角为 $15 °$ ，同时测得点 $C$ 的俯角为 $76 °$ ，又知摩天轮的半径为 $10$ 米，求摩天轮顶端 $B$ 与地面的距离．(精确到 $1$ 米)
参考数据： $\sin 15 ° \approx 0.26 ， \cos 15 ° \approx 0.96 ， \tan 15 ° \approx 0.27$ ， $\sin 76 ° \approx 0.97 ， \cos 76 ° \approx 0.24 ， \tan 76 ° \approx 4.01$

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23. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B A D$ 的平分线交边 $B C$ 于点 $E$ ，交 $D C$ 的延长线于点 $F$ ，点 $G$ 在 $A E$ 上，联结 $G D ， ∠ G D F = ∠ F$

(1)、求证： $A D^{2} = D G \cdot A F$ ；

(2)、连结 $B G$ ，如果 $B G ⊥ A E$ ，且 $A B = 6 ， A D = 9$ ，求 $A F$ 的长．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 1 (a \neq 0)$ 经过点 $A (- 2 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 和点 $D (- 3 ， n)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，

(1)、求该抛物线的表达式及点 $D$ 的坐标；

(2)、将抛物线平移，使点 $C$ 落在点 $B$ 处，点 $D$ 落在点 $E$ 处，求 $△ O D E$ 的面积；

(3)、如果点 $P$ 在 $y$ 轴上， $△ P C D$ 与 $△ A B C$ 相似，求点 $P$ 的坐标．

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25. 如图，已知 $A B ⊥ B C ， D C ⊥ B C ，$ 垂足分别为点 $B$ 、点 $C$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $P$ ，

(1)、如果 $A B = 3 ， C D = 5$ ，以点 $P$ 为圆心作圆，圆 $P$ 与直线 $B C$ 相切，
①求圆 $P$ 的半径长；

②又 $B C = 8$ ，以 $B C$ 为直径作圆 $O$ ，试判断圆 $O$ 与圆 $P$ 的位置关系，并说明理由：

(2)、如果分别以 $A B 、 C D$ 为直径的两圆外切，求证： $△ A B C$ 与 $△ B C D$ 相似．

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