山东省威海乳山市（五四制）2020-2021学年九年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-06-18 类型：期中考试

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一、单选题

1. 熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为（）

A、 $0.156 \times 10^{- 3}$ B、 $1.56 \times 10^{- 3}$ C、 $1.56 \times 10^{- 4}$ D、 $15.6 \times 10^{- 4}$

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2. 下面计算正确的是（）

A、 $a + a = a^{2}$ B、 $3 a^{2} - 2 a^{2} = 1$ C、 ${(3 a)}^{2} = 6 a^{2}$ D、 $a \cdot a^{3} = a^{4}$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $E F / / B C$ ， $E D$ 平分 $∠ B E F$ ，且 $∠ D E F = 70 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、70° B、60° C、50° D、40°

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4. 如果 $a^{2} - a = 6$ ，那么代数式 $(a - \frac{1}{a}) \cdot \frac{a^{2}}{a + 1}$ 的值为（）

A、12 B、6 C、2 D、-6

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5. 如图，△ABC内接于⊙O ，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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6. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为 $x$ ，买鸡的钱数为 $y$ ，可列方程组为（）

A、 ${\begin{matrix} 9 x + 11 = y \\ 6 x + 16 = y \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} 9 x - 11 = y \\ 6 x - 16 = y \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} 9 x + 11 = y \\ 6 x - 16 = y \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} 9 x - 11 = y \\ 6 x + 16 = y \end{matrix}$

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7. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，延长 $A D$ 至点E，使 $A D = 2 D E$ ，连接 $B E$ 交 $C D$ 于点F，交 $A C$ 于点G，则 $\frac{C G}{A G}$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 如图，正比例函数 $y = k x$ 的图象和反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象交于 $A ， B$ 两点，分别过点 $A ， B$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足为 $C ， D$ ，则 $△ A O C$ 与 $△ B O D$ 的面积之和为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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9. 如图1，点P从 $R t △ A B C$ 的顶点A出发，沿A→C→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥AB于点Q，设点P运动的路程为x，PQ的长为y，若y与x之间的函数关系如图2所示，当x＝6时，PQ的长为（）

A、1 B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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10. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 的边长为6，点 $O$ 为正六边形的中心，将半径为 $\sqrt{3}$ 的⊙M在正六边形的内部沿边逆时针滚动，连接 $O M$ ，过点 $M$ 作 $M P ⊥ O M$ ，并且 $O M = M P$ ，连接 $O P ，$ ⊙M在滚动的过程中， $△ O M P$ 面积的最大值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、6 D、8

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11. 一组数据为5，6，7，7，10，10，某同学在抄题的时候，误将其中的一个10抄成了16，那么该同学所抄的数据和原数据相比，不变的统计量是（）

A、极差 B、平均数 C、中位数 D、众数

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12. 如图，抛物线 $y = x^{2} - 1$ ．将该抛物线在x轴和x轴下方的部分记作 $C_{1}$ ，将 $C_{1}$ 沿x轴翻折记作 $C_{2}$ ， $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 构成的图形记作 $C_{3}$ ．关于图形 $C_{3}$ ，给出如下四个结论，其中错误的是（）

A、图形 $C_{3}$ 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点） B、图形 $C_{3}$ 上任意一点到原点的距离都不超过1 C、图形 $C_{3}$ 的周长大于 $2 π$ D、图形 $C_{3}$ 所围成的区域的面积大于2且小于 $π$

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二、填空题

13. 因式分解： $x^{3} - 3 x^{2} - 4 x =$ ．

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14. 将容量为100的样本分成3个组，第一组的频数是35，第二组的频率是0.28，那么第三组的频率是.

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15. 如图，O是▱ABCD的对称中心，点E在边BC上，AD＝7，BE＝3，将 $△ A B E$ 绕点O旋转180°，设点E的对应点为 $E^{'}$ ，则 $\frac{S_{△ A E E^{'}}}{S_{▱ A B C D}}$ ＝．

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16. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k + 1 = 0$ 的两个实数根是 $x_{1} ， x_{2}$ ，那么 $- x_{1} - x_{2} - {(x_{1} x_{2})}^{2}$ 的最大值是．

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17. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = 45 ° ， A E$ 为 $B C$ 边上的高，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 所在的直线翻折，得到 $△ A B^{'} E$ ，若 $B^{'} C = \sqrt{2} - 1$ ，则菱形的边长为．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形 $O A P_{1} B$ 的顶点 $A ， B$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴上，点 $P_{1}$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 图象上，过 $P_{1} A$ 的中点 $B_{1}$ 作矩形 $B_{1} A A_{1} P_{2}$ ，使顶点 $P_{2}$ 落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上，再过 $P_{2} A_{1}$ 的中点 $B_{2}$ 作矩形 $B_{2} A_{1} A_{2} P_{3}$ ，使顶点 $P_{3}$ 落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上，…，依此规律，作出矩形 $B_{18} A_{17} A_{18} P_{19}$ 时，落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上的顶点 $P_{19}$ 的坐标为．

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三、解答题

19. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 4 (x + 1) \leq 2 x + 6 \\ x - 3 < \frac{x - 5}{3} \end{array}$ ，并写出它的所有非负整数解．

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20. 为落实“精致乳山”工作部署，市政府计划对城区道路进行改造．计划安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 $\frac{3}{2}$ 倍，甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．甲、乙两工程队每天改造道路的长度分别是多少米？

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21. 为了解我市市民读党史书籍的情况，小明同学在自己小区内进行了抽样调查．他随机抽取了小区30户家庭，收集到的读党史书籍的本书如下（单位：本）：1，1，2，3，2，3，2，3，3，4，3，3，4，3，3，5，3，4，3，4，4，5，4，5，3，4，3，4，5，6
通过数据进行整理，绘制了如下统计图：

根据上述信息解决问题：

(1)、这30户家庭读党史书籍本书的众数是，中位数是；

(2)、若绘制扇形统计图，则读4本书籍所在的扇形圆心角度数为°；

(3)、要从读2本和读6本的家庭中，任意选取两个家庭采访小区居民对读党史书籍的认识，求恰好选中读2本和读6本党史数据的家庭的概率．

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22. 如图，一架无人机沿水平方向由 $A$ 处飞行6千米到达 $B$ 处，在航线 $A B$ 下方有两个山头 $C ， D$ ．无人机在 $A$ 处，测得 $C ， D$ 的俯角分别为 $60 °$ 和 $30 °$ ．无人机在 $B$ 处，测得 $C$ 的俯角为 $30 °$ ，此时山头 $D$ 恰好在无人机的正下方．求山头 $C ， D$ 之间的距离．

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23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点O在射线 $A C$ 上（点 $O$ 不与点 $A$ 重合），过点 $O$ 作 $O D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ，以点 $O$ 为圆心， $O D$ 为半径画半圆 $O$ ，分别交射线 $A C$ 于 $E$ 、 $F$ 两点，设 $O D = x$ ．

(1)、如图，当点 $O$ 为 $A C$ 边的中点时，求 $x$ 的值；

(2)、如图，当点 $O$ 与点 $C$ 重合时，连接 $D F$ ，求弦 $D F$ 的长；

(3)、当半圆 $O$ 与 $B C$ 无交点时，直接写出 $x$ 的取值范围．

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24. 在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE>DE），AE，BD交于点F．

(1)、如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．
求证：∠EAB=∠GHC；

(2)、AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．
①依题意补全图形；

图1 备用图

②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．

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25. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 1 ， 0) ， B (m ， 0)$ 两点 $(m > 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $A C ， B C$ ．

(1)、求证： $O B = O C$ ；

(2)、设点 $P (x ， y)$ 是抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 上 $B ， C$ 两点之间的动点，连接 $P B ， P C$ ．在 $m = 3$ 的条件下：
①若 $S_{△ P B C} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$ ，求点 $P$ 的坐标；

②若 $n \leq x \leq n + 1$ ，且 $y = - x^{2} + b x + c$ 的最大值为 $2 n$ ，直接写出 $n$ 的值．

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