江苏省南京市六校联合体2020-2021学年高三上学期数学暑假学情检测试卷

试卷更新日期：2021-06-18 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 \leq 0}$ ， $B = {x | y = \sqrt{x}}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | x \geq - 1}$ D、 ${x | x \geq 0}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z = - 1 + \sqrt{3} i$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $\frac{\bar{z}}{| z |} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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3. 若a ， b ， c满足 $2^{a} = 3$ ， $b = \log_{2} 5$ ， $c = \log_{3} 2$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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4. 已知函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | \leq π$ 的图象如图所示，则（）

A、 $ω = 2$ ， $φ = π$ B、 $ω = 2$ ， $φ = \frac{π}{2}$ C、 $ω = \frac{1}{2}$ ， $φ = \frac{π}{4}$ D、 $ω = \frac{1}{2}$ ， $φ = - \frac{3 π}{4}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} (2^{x} + 2^{- x})}{2 + \cos x}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布 $N (105 ， σ^{2}) (σ > 0)$ ，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的 $\frac{1}{5}$ ，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）

A、150 B、200 C、300 D、400

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7. 《张丘建算经》是我国古代数学名著，书中有如下问题“今有懒女不善织，日减功迟，初日织七尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何?”其意思为：有个懒惰的女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织七尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺（）

A、90 B、120 C、140 D、150

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8. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $A P = 3$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，Q是边 $B C$ 上的一动点，且直线 $P Q$ 与平面 $A B C$ 所成角的最大值为 $\frac{π}{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、50π B、55π C、57π D、108π

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二、多选题

9. 已知 $f (x)$ 是定义域为R的函数，满足 $f (x + 1) = f (x - 3)$ ， $f (1 + x) = f (3 - x)$ ，当 $0 \leq x \leq 2$ 时， $f (x) = x^{2} - x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为4 B、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = 2$ 对称 C、当 $0 \leq x \leq 4$ 时，函数 $f (x)$ 的最大值为2 D、当 $6 \leq x \leq 8$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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10. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E，F，G分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $D D_{1}$ 与直线 $A F$ 垂直 B、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A E F$ 平行 C、点C与点G到平面 $A E F$ 的距离相等 D、平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ ，则（）

A、实轴长为2 B、渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、离心率为2 D、一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3

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12. 已知 $\ln x_{1} - x_{1} - y_{1} + 2 = 0$ ， $x_{2} + 2 y_{2} - 2 \ln 2 - 6 = 0$ ，记 $M = {(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}$ ，则（）

A、 $M$ 的最小值为 $\frac{16}{5}$ B、当 $M$ 最小时， $x_{2} = \frac{14}{5}$ C、 $M$ 的最小值为 $\frac{4}{5}$ D、当 $M$ 最小时 $x_{2} = \frac{12}{5}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， m)$ ， $\vec{b} = (\frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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14. ${(x - \frac{2}{x})}^{7}$ 的展开式中 $x$ 的系数为.

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15. 某系列智能手机玻璃版有“星河银”、“罗兰紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四种颜色.若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有种.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} ， x \leq a ， \\ x^{2} ， x > a . \end{matrix}$ ①若 $a = 1$ ，则不等式 $f (x) \leq 1$ 的解集为.②若存在实数 $b$ ，使函数 $g (x) = f (x) - b$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，a ， b ， c分别为内角A ， B ， C的对边，且满足 $(b - a) (\sin B + \sin A) = c (\sqrt{3} \sin B - \sin C)$ .

(1)、求A的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， $B = \frac{π}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 给出以下三个条件：① $4 a_{3}$ ， $3 a_{4}$ ， $2 a_{5}$ 成等差数列；②对于 $\forall n \in N^{*}$ ，点 $(n ， S_{n})$ 均在函数 $y = 2^{x} - a$ 的图象上，其中 $a$ 为常数；③ $S_{3} = 7$ ．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
设 ${a_{n}}$ 是一个公比为 $q (q > 0 ， q \neq 1)$ 的等比数列，且它的首项 $a_{1} = 1$ ，．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 2 \log_{2} a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ，证明数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} < \frac{1}{2}$ ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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19. 如图1，在边长为4的菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $D E ⊥ A B$ 于点E ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} D ⊥ D C$ ，如图2.

(1)、求证： $A_{1} E ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、求二面角 $E - A_{1} B - C$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的右准线方程为 $x = 4$ ，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线经过点A ，且点F到直线的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、将直线绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P ，当B ， F ， P三点共线时，试确定直线的斜率.

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21. 推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：

得分	$[30 ， 40)$	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
男性人数	40	90	120	130	110	60	30
女性人数	20	50	80	110	100	40	20

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} \cdot (n = a + b + c + d)$

临界值表：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；

(2)、将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解“(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)两类，完成

2 \times 2

列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？

	不太了解	比较了解
男性
女性

(3)、从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同

n (n \in N^{*})

名男性调查员一起组成3个环保宣传队.若从这

n + 10

中随机抽取3人作为队长，且男性队长人数占的期望不小于2.求

n

的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x \ln x$ ， $g (x) = x + \frac{a}{x} - {(\ln x)}^{2}$ ，其中 $a \in R$ ， $x_{0}$ 是 $g (x)$ 的一个极值点，且 $g (x_{0}) = 2$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求实数 $x_{0}$ 和a的值；

(3)、证明 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{4 k^{2} - 1}} > \frac{1}{2} \ln (2 n + 1)$ （ $n \in N^{*}$ ）.

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