江苏省南京市2020-2021学年高三上学期数学9月期初考试试卷

试卷更新日期：2021-06-18 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $B = {x | 1 < x < 3}$ ，则A $\cap$ B＝（）

A、 ${x | - 1 < x < 3}$ B、 ${x | - 1 < x < 1}$ C、 ${x | 1 < x < 2}$ D、 ${x | 2 < x < 3}$

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2. 已知(3﹣4i)z＝1＋i ，其中i为虚数单位，则在复平面内z对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} |$ ＝1， $| \vec{b} |$ ＝2，且 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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4. 在平面直角坐标系xOy中，若点P( $4 \sqrt{3}$ ，0)到双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为（）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ．若2bcosC≤2a﹣c ，则角B的取值范围是（）

A、(0， $\frac{π}{3}$ ] B、(0， $\frac{2 π}{3}$ ] C、[ $\frac{π}{3}$ ， $π$ ) D、[ $\frac{2 π}{3}$ ， $π$ )

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6. 设 $a = \log_{4} 9$ ， $b = 2^{- 1.2}$ ， $c = {(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}}$ ，则（）

A、a＞b＞c B、b＞a＞c C、a＞c＞b D、c＞a＞b

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7. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆A： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T ．若PT＝ $\sqrt{2}$ PB ，则动点P的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} - 14 x + 18 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} + 14 x + 18 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 10 x + 18 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} + 10 x + 18 = 0$

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8. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ．若当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = \log_{2} (2 x + 3)$ ，则 $f (\frac{93}{2})$ 的值是（）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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二、多选题

9. 由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对 $G D P$ 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（）

A、5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B、设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C、设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D、信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势

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10. 将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则（）

A、函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 B、函数 $g (x)$ 的图象关于点( $\frac{π}{6}$ ，0)对称 C、函数 $g (x)$ 在区间( $- \frac{5 π}{12}$ ， $- \frac{π}{6}$ )上单调递增 D、函数 $g (x)$ 在区间(0， $\frac{7 π}{6}$ )上有两个零点

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11. 已知 $(2 + x) {(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则（）

A、 $a_{0}$ 的值为2 B、 $a_{5}$ 的值为16 C、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6}$ 的值为﹣5 D、 $a_{1} + a_{3} + a_{5}$ 的值为120

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12. 记函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域的交集为I ．若存在 $x_{0} \in$ I ，使得对任意 $x \in$ I ，不等式 $[f (x) - g (x)] (x - x_{0}) \geq 0$ 恒成立，则称( $f (x)$ ， $g (x)$ )构成“M函数对”．下列所给的两个函数能构成“M函数对”的有（）

A、 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = e x$ C、 $f (x) = x^{3}$ ， $g (x) = x^{2}$ D、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ， $g (x) = 3 \sqrt{x}$

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三、填空题

13. 如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球（小球完全浸入水中），水面高度恰好升高 $\frac{r}{3}$ ，则 $\frac{R}{r}$ ＝．

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14. 被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线l：y＝4与抛物线C： $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 交于A ， B两点，则弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为．

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15. 若不等式 $(a x^{2} + b x + 1) e^{x} \leq 1$ 对一切x $\in$ R恒成立，其中a ， b $\in$ R ， e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ，n $\in N^{*}$ ，则 $a_{4}$ ＝；若 $a_{1}$ ＝2，则 $S_{20}$ ＝．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{m} = (2 \cos x, - 1)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} \sin x, 2 \cos^{2} x)$ ， $x \in R$ ，设函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $a \in [\frac{π}{3}, \frac{7 π}{12}]$ ，且 $f (a) = \frac{8}{5}$ ，求 $\cos 2 a$ 的值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为2的等比数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，

(1)、在① $S_{1} + S_{3} = 2 S_{2} + 2$ ，② $S_{3} = \frac{7}{3}$ ，③ $a_{2} a_{3} = 4 a_{4}$ ，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，并判断此时数列 ${a_{n}}$ 是否满足条件P：任意m ， n $\in N^{*}$ ， $a_{m} a_{n}$ 均为数列 ${a_{n}}$ 中的项，说明理由；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = n {(\frac{a_{n + 1}}{a_{n}})}^{n - 1}$ ，n $\in N^{*}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．
注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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19. 为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校 $100$ 名学生（男生 $60$ 人，女生 $40$ 人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：

是否达标

性别

不达标

达标

男生

36

24

女生

10

30

(1)、是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？
附： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

$P (χ^{2} \geq k)$

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

$k$

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(2)、如果用这100名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量 $X$ 表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求 $X$ 的分布列和数学期望．

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20. 如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD ， AD//BC ， AB＝BC＝PA＝1，AD＝2，∠PAD＝∠DAB＝90°，点E在棱PC上，设CE＝ $λ$ CP ．

(1)、求证：CD⊥AE；

(2)、记二面角C—AE—D的平面角为 $θ$ ，且 $| \cos θ | = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，求实数 $λ$ 的值．

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21. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ．

(1)、设椭圆C的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ， T是椭圆C上的一个动点，求 $\vec{T F_{1}} \cdot \vec{T F_{2}}$ 的取值范围；

(2)、设A(0，-1)，与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于B ， D两点，若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = k x - x \ln x$ ， $k \in R$ ．

(1)、当 $k = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $0 < x \leq 1$ 时， $f (x) \leq k$ 恒成立，求k的取值范围；

(3)、设n $\in N^{*}$ ，求证： $\frac{\ln 1}{2} + \frac{\ln 2}{3} + \dots + \frac{\ln n}{n + 1} \leq \frac{n (n - 1)}{4}$ ．

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$P (χ^{2} \geq k)$	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828