广东省深圳市宝安区2021届高三上学期期末调研（9月开学考试）数学试题

试卷更新日期：2021-06-18 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- 1, 1]$ C、 $[1, 2)$ D、 $(1, 2)$

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2. 设函数 $f (x) = x,$ 则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、-1

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3. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ，点 $M$ 满足 $\overset{⇀}{B M} = 2 \overset{⇀}{M C}$ ，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A M}$ 等于（）

A、10 B、9 C、8 D、7

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4. 已知函数 $f (x)$ 与 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则不等式组 ${\begin{array}{l} f (x) < f^{'} (x) \\ 0 < x < 3 \end{array}$ 解集为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(1 ， 4)$

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5. 设 $0 < a < 1$ ，离散型随机变量 $X$ 的分布列是如下，则当 $a$ 在 $(0, \frac{2}{3})$ 内增大时（）

$X$

0

1

2

$P$

$\frac{1 - a}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{a}{2}$

A、 $D (X)$ 增大 B、 $D (X)$ 减小 C、 $D (X)$ 先减小后增大 D、 $D (X)$ 先增大后减小

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6. 如果函数 $f (x)$ 对任意的实数 $x$ ，都有 $f (1 + x) = f (- x)$ ，且当 $x \geq \frac{1}{2}$ 时， $f (x) = \log_{2} (3 x - 1)$ ，那么函数 $f (x)$ 在 $[- 2, 0]$ 上的最大值与最小值之和为（）

A、2 B、3 C、4 D、－1

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7. 函数f（x）＝x﹣g（x）的图象在点x＝2处的切线方程是y＝﹣x﹣1，则g（2）+g'（2）＝（）

A、7 B、4 C、0 D、﹣4

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8. 如图，ABCD﹣A₁B₁C₁D₁为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB₁D₁；②AC₁⊥BD；③AC₁⊥平面CB₁D₁其中正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、多选题

9. 已知点P在双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是左、右焦点，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为20，则下列判断正确的有（）

A、点P到x轴的距离为 $\frac{20}{3}$ B、 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = \frac{50}{3}$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 为钝角三角形 D、 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$

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10. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{4} = 2 a_{2} + a_{3}$ ，若设其公比为q，前n项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $q = 2$ B、 $a_{n} = 2^{n}$ C、 $S_{10} = 2047$ D、 $a_{n} + a_{n + 1} < a_{n + 2}$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (3 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称，则（）

A、函数 $f (x + \frac{π}{12})$ 为奇函数 B、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ D、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到函数 $y = - \cos 3 x$ 的图象

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12. 如图正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点E､F，且 $E F = \frac{1}{2}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $A C ⊥ B E$ B、 $E F / /$ 平面 $A B C D$ C、三棱锥 $A - B E F$ 的体积为定值 D、 $Δ A E F$ 的面积与 $Δ B E F$ 的面积相等

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三、填空题

13. 如果复数 $2, a + i, 2 + b i (a, b \in R)$ 成等差数列，则 $a + b =$ .

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14. 某车队有6辆车，现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有种不同的调度方法.（用数字填写答案）

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15. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} 1 ， x > 0 \\ 0 ， x = 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{matrix}$ ， $g (x) = x^{2} f (x - 1)$ ，则函数 $g (x)$ 的递减区间是．

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16. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，设其导函数为 $f' (x)$ ，当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时，恒有 $x f^{'} (x) < - f (- x)$ ，令 $F (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，则满足 $F (x) > F (2 x - 1)$ 的实数 $x$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 a \sin (\frac{π}{2} - x) \cos (x - \frac{2π}{3})$ ，且 $f (\frac{π}{3}) = 1$ .

(1)、求 $a$ 的值及 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $f (α) = - \frac{1}{3}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，求sin2α．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + n,$ 数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} = \frac{b_{1}}{2 + 1} + \frac{b_{2}}{2^{2} + 1} + \dots + \frac{b_{n}}{2^{n} + 1}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{a_{n} b_{n}}{4} - n,$ 求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图， $A B$ 为圆 $O$ 的直径，点 $E$ ， $F$ 在圆 $O$ 上， $A B / / E F$ ，矩形 $A B C D$ 和圆 $O$ 所在的平面互相垂直，已知 $A B = 2$ ， $E F = 1$ ．
（Ⅰ）求证：平面 $D A F ⊥$ 平面 $C B F$ ；
（Ⅱ）当 $A D$ 的长为何值时，二面角 $D - F E - B$ 的大小为 $60 °$ ．

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20. 已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ ，过点 $P (4, 2)$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与抛物线交于不同的两点 $M$ ， $N$ ．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $Δ O M N$ 为直角三角形，且 $O M ⊥ O N$ ，求 $k$ 的值．

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21. 2020年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.

参考公式：附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (b + d) (c + d)}$

$P (K^{2} > k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	0.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10828

(1)、完成

2 \times 2

列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；

	满意	不满意	总计
男生	20
女生		15
合计			120

(2)、从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为

ξ

，求出

ξ

的分布列及期望值.

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22. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + x^{2} + b ， g (x) = a \ln x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{1}{2} ， 1)$ 上的最大值为 $\frac{3}{8}$ ，求实数 $b$ 的值；

(2)、对任意的 $x \in [1 ， e]$ ，都有 $g (x) \geq - x^{2} + (a + 2) x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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$X$	0	1	2
$P$	$\frac{1 - a}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{a}{2}$