安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期理数摸底联考试卷

试卷更新日期：2021-06-18 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} \geq 1}$ ， $B = {x | x \leq 0}$ ，则 $(C_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(0, 1]$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(- 1, 0]$

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2. 已知命题 $p ： \exists m \in R$ ， $f (x) = 3^{x} - m \log_{2} x$ 是增函数，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists m \in R$ ， $f (x) = 3^{x} - m \log_{2} x$ 是减函数 B、 $\forall m \in R$ ， $f (x) = 3^{x} - m \log_{2} x$ 是增函数 C、 $\exists m \in R$ ， $f (x) = 3^{x} - m \log_{2} x$ 不是增函数 D、 $\forall m \in R$ ， $f (x) = 3^{x} - m \log_{2} x$ 不是增函数

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3. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线互相垂直，且焦距为 $2 \sqrt{6}$ ，则抛物线 $y^{2} = 2 b x$ 的准线方程为（）

A、 $x = - \sqrt{3}$ B、 $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $y = - \sqrt{3}$ D、 $y = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (2, 2)$ ， $\vec{b} = (1, x)$ ，若 $\vec{a} // (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、10 B、2 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{2}$

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5. 将函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{1}{4}$ 个周期后，所得图象对应的函数为（）

A、 $g (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{12})$ B、 $g (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $g (x) = 2 \sin (2 x - \frac{7 π}{12})$ D、 $g (x) = 2 \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$

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6. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（）

A、72里 B、60里 C、48里 D、36里

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7. 执行如下的程序框图，为使输出的b的值为16，则循环体的判断框内①处应开始填的整数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 函数y= $2^{| x |}$ sin2x的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 若正实数x ， y满足 $2 x + y + x y - 6 = 0$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为（）

A、 $4 (\sqrt{5} + 1)$ B、 $4 (\sqrt{5} - 1)$ C、12 D、4

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10. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中直线 $A B$ (点B为俯视图中矩形的中心)与平面 $A C D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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11. 已知函数 $f (x) (x \in R)$ 满足 $f (- x) = 2 - f (x)$ ，若函数 $y = \frac{x + 1}{x}$ 与 $y = f (x)$ 图象的交点为 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{2020}, y_{2020})$ ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（）

A、1010 B、-2020 C、2020 D、4040

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12. 若曲线 $f (x) = \frac{e^{x - 2}}{a x + 1}$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线过点 $(- 1 ， 0)$ ，则函数 $f (x)$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (- 1 ， 0)$ D、 $(- \infty ， - 1)$ ， $(- 1 ， 0)$

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二、填空题

13. 已知复数z满足： ${(1 + i)}^{2} z = 4 - 2 i^{7}$ ，则 $| \bar{z} | =$ .

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14. 已知点M的坐标 $(x ， y)$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + y - 4 \geq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \\ y - 3 \leq 0 \end{array}$ ， $N$ 为直线 $y = - 2 x + 2$ 上任一点，则 $| M N |$ 的最小值是

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15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差d不为0，等比数列 ${b_{n}}$ 的公比 $q \in [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{5} - 1}{2})$ ，若 $a_{1} = d$ ， $b_{1} = d^{2}$ ， $\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}{b_{1} + b_{2} + b_{3}}$ 是正整数，则实数 $q =$ .

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16. 已知偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - f (x + 2) = 0$ ，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x \cdot e^{x}$ ，若在区间 $[- 1 ， 3]$ 内，函数 $g (x) = f (x) - k x - 2 k + 1$ 有且仅有3个零点，则实数k的取值范围是.

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三、解答题

17. 在三角形 $A B C$ 中，已知角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $a \sin A + csin C - a \sin C = b \sin B$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ，求三角形 $A B C$ 面积的最大值.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d (d \neq 0)$ ，等差数列 ${b_{n}}$ 的公差为 $2 d$ ，设 $A_{n}$ ， $B_{n}$ 分别是数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $b_{1} = 3$ ， $A_{2} = 3$ ， $A_{5} = B_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = b_{n} + \frac{1}{a_{n} • a_{n + 1}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < {(n + 1)}^{2}$ .

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C_{1}$ 是边长为2的等边三角形，平面 $A B C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ，四边形 $A A_{1} C_{1} C$ 为菱形， $∠ A A_{1} C_{1} = 60 °$ ， $A C_{1}$ 与 $A_{1} C$ 相交于点D.

(1)、求证： $B D ⊥ C_{1} C$ .

(2)、求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成 $[10 ， 15]$ ， $(15 ， 20]$ ， $(20 ， 25]$ ， $(25 ， 30]$ ， $(30 ， 35]$ 5组，得到如图所示的频率分布直方图．以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率．

(1)、估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；

(2)、若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率．

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21. 已知点 $P (x_{0} ， f (x_{0}))$ 是曲线 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + a \ln x$ 上任意一点， $a \in R$ .

(1)、若在曲线 $y = f (x)$ 上点P处的切线的斜率恒大于 $\frac{3 + 3 a - a^{2}}{x_{0}} - 3 a - 1$ ，求实数a的取值范围.

(2)、点 $A (x_{1} ， g (x_{1}))$ ､ $B (x_{2} ， g (x_{2}))$ 是曲线 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - f (x)$ 上不同的两点，设直线 $A B$ 的斜率为k.若 $a = - 1$ ，求证： $k (x_{1} + x_{2}) > 2$ .

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22. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点F在直线 $3 x - y + 3 \sqrt{2} = 0$ 上，且 $a + b = 2 + \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、直线 $l$ 与椭圆交于A、C两点，线段 $A C$ 的中点为M ，射线 $M O$ 与椭圆交于点P ，点O为 $△ P A C$ 的重心，探求 $△ P A C$ 面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围.

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