四川省成都市新都区2021年高三理数摸底测试试卷

试卷更新日期：2021-06-18 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | x^{2} - 2 x \geq 0}$ ， $Q = {x | 1 < x \leq 2}$ ，则 $(∁_{R} P) \cap Q$ 等于（）

A、 $[0, 1)$ B、 $(0, 2]$ C、 $(1, 2)$ D、 $[1, 2]$

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2. 设复数 $z$ 满足： $(1 + i) z = 2 - i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{3}{2}$

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3. 已知 $s_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $2 （ a_{1} + a_{3} + a_{5}) + 3 (a_{8} + a_{10}) = 36$ ，则 $s_{11} =$ （）

A、66 B、55 C、44 D、33

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4. 若实数a，b满足 $3^{a} = 4^{b} = 12$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、1

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5. 已知函数 $f (x) = x \cos x + (a - 1) x^{2}$ 是奇函数，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程是（）

A、 $2 x - y = 0$ B、 $x - y = 0$ C、 $2 x + y = 0$ D、 $x - 2 y = 0$

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6. 已知 $α$ 是锐角，若 $sin (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{4}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{8}$ C、 $- \frac{7}{8}$ D、 $- \frac{\sqrt{15}}{8}$

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7. 给出下列说法：
①回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 恒过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ ，且至少过一个样本点；②两个变量相关性越强，则相关系数 $| r |$ 就越接近1；③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差 $s^{2} < 2$ ；④在回归直线方程 $\hat{y} = 2 - 0.5 x$ 中，当解释变量 $x$ 增加一个单位时，预报变量 $\hat{y}$ 平均减少0.5个单位.

其中说法正确的是（）

A、①②④ B、②③④ C、①③④ D、②④

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8. 已知奇函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的减函数，若 $m ， n$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} f (m) + f (n - 2) \geq 0 \\ f (m - n - 1) \geq 0 \\ f (m) \leq 0 \end{array}$ ，则 $2 m - n$ 的最小值为（）

A、-4 B、-2 C、0 D、4

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9. 已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，抛物线 $C : y^{2} = 8 a x$ 的焦点为 $F$ ，若在 $E$ 的渐近线上存在点 $P$ ，使得 $\vec{P A} ⊥ \vec{F P}$ ，则 $E$ 的离心率的取值范围是（）．

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, \frac{3 \sqrt{2}}{4}]$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $[\frac{3 \sqrt{2}}{4}, + \infty)$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}} \sin (x + α) ， x \in R$ ，则当 $α \in [0 ， π]$ 时函数 $f (x)$ 的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $B A = B C$ ， $∠ P B C = 90 °$ ， $P A = 2$ ，若三棱锥 $P - A B C$ 的体积为6，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为（）

A、18π B、24π C、36π D、40π

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12. 已知函数 $f (x)$ 满足当 $x \leq 0$ 时， $2 f (x - 2) = f (x)$ ，且当 $x \in (- 2 ， 0]$ 时， $f (x) = | x + 1 | - 1$ ；当 $x > 0$ 时， $f (x) = \log_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1$ ).若函数 $f (x)$ 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是（）

A、 $(625 ， + \infty)$ B、 $(4 ， 64)$ C、 $(9 ， 625)$ D、 $(9 ， 64)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (3, - 1), \vec{b} = (t, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ )，则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为.

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14. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 $30^{\circ}$ 的方向上，行驶600m后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北 $75^{\circ}$ 的方向上，仰角为 $30^{\circ}$ ，则此山的高度 $C D =$ m.

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15. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x + \sin 2 x$ ，则 $f (x)$ 的最小值是.

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16. 数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若数列 ${a_{n}}$ 的各项按如下规律排列： $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{2}{4}$ ， $\frac{3}{4}$ ， $\frac{1}{5}$ ， $\frac{2}{5}$ ， $\frac{3}{5}$ ， $\frac{4}{5} \dots$ ， $\frac{1}{n}$ ， $\frac{2}{n}$ ，…， $\frac{n - 1}{n}$ ，…有如下运算和结论：① $a_{24} = \frac{3}{8}$ ；②数列 $a_{1}$ ， $a_{2} + a_{3}$ ， $a_{4} + a_{5} + a_{6}$ ， $a_{7} + a_{8} + a_{9} + a_{10}$ ，…是等比数列；③数列 $a_{1}$ ， $a_{2} + a_{3}$ ， $a_{4} + a_{5} + a_{6}$ ， $a_{7} + a_{8} + a_{9} + a_{10}$ ，…的前 $n$ 项和为 $T_{n} = \frac{n^{2} + n}{4}$ ；④若存在正整数 $k$ ，使 $S_{k} < 10$ ， $S_{k + 1} \geq 10$ ，则 $a_{k} = \frac{5}{7}$ .其中正确的结论是.（将你认为正确的结论序号都填上）

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三、解答题

17. 在全民抗击新冠肺炎疫情期间，新都区开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲､乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成[3，4)，[4，5)，[5，6)，[6，7)，[7，8]五组，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)、已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；

(2)、已知这两个班级各有40名学生，从甲､乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $M$ ､ $N$ ､ $F$ 分别是 $A^{'} C$ ､ $B C$ ､ $A^{'} C^{'}$ 的中点.

(1)、证明： $M N / /$ 平面 $C F B^{'}$ ；

(2)、底面△ $A^{'} B^{'} C^{'}$ 是边长为2的正三角形， $C$ 在底面上的射影为 $F$ ，且 $C F = 1$ ，当 $P$ 是 $C B^{'}$ 的中点时，求二面角 $P - A^{'} C^{'} - B^{'}$ 的大小.

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19. 已知向量 $\vec{m} = (\cos \frac{x}{2}, - 1) \vec{n} = (\sqrt{3} \sin \frac{x}{2}, \cos^{2} \frac{x}{2})$ ，设函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + 1$ ．

(1)、若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，f（x）=1，求 $x$ 的值；

(2)、在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别是 $a, b, c$ 且满足 $2 b \cos A \leq 2 c - \sqrt{3} a$ 求 $f (B)$ 的取值范围．

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20. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 5 S_{3}$ ， $a_{4} = 2 a_{2} - 3$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $\frac{b_{1}}{a_{1}} + \frac{b_{2}}{a_{2}} + \dots + \frac{b_{n}}{a_{n}} = \frac{1}{2^{n}} - 1, n \in N^{*}$ ，证明： $b_{n} \leq \frac{3}{8}$ .

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21. 在平面直角坐标系xOy中，圆 $A ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，圆内一点 $B (- 1 ， 0)$ ， $P$ 是圆上任意一点，线段 $B P$ 的垂直平分线 $l$ 和半径 $A P$ 相交于点 $E$ ，当 $P$ 在圆上运动时，

(1)、求点 $E$ 的轨迹方程；

(2)、过 $A$ 的直线与点 $E$ 的轨迹方程交于 $H 、 G$ 两点，若线段 $H G$ 的中点为 $M$ ，且 $\vec{M N} = 2 \vec{O M}$ ，求四边形 $O H N G$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{3} - a \ln x - 1$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ､ $x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，求证： $11 x_{2} + x_{1} > 11 a$ .

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