2017-2021年高考数学全国乙卷（原全国卷2）数列汇编（文理）

试卷更新日期：2021-06-18 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）

A、3699块 B、3474块 C、3402块 D、3339块

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2. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{m + n} = a_{m} a_{n}$ ，若 $a_{k + 1} + a_{k + 2} + \dots + a_{k + 10} = 2^{15} - 2^{5}$ ，则 $k =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A、1盏 B、3盏 C、5盏 D、9盏

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二、填空题

4. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．若 $a_{1} = - 2, a_{2} + a_{6} = 2$ ，则 $S_{10} =$ ．

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5. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₃=3，S₄=10，则 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{S_{k}}$ = ．

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三、解答题

6. 设 ${a_{n}}$ 是首项为1的等比数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{n a_{n}}{3}$ ，已知 $a_{1}$ ，3 $a_{2}$ ，9 $a_{3}$ 成等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别为 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前n项和.证明： $T_{n}$ < $\frac{S_{n}}{2}$ .

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7. 记S_n为数列{a_n}的前n项和，b_n为数列{S_n}的前n项积，已知 $\frac{2}{S_{n}} + \frac{1}{b_{n}}$ =2.

(1)、证明：数列{b_n}是等差数列；

(2)、求{a_n}的通项公式.

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8. 已知公比大于 $1$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{4} = 20, a_{3} = 8$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $a_{1} a_{2} - a_{2} a_{3} + \dots + {(- 1)}^{n - 1} a_{n} a_{n + 1}$ .

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9. 已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列， $a_{1} = 2$ ， $a_{3} = 2 a_{2} + 16$ 。

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，求数列{ $b_{n}$ }的前n项和。

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10. 已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=1，b₁=0， $4 a_{n + 1} = 3 a_{n} - b_{n} + 4$ ， $4 b_{n + 1} = 3 b_{n} - a_{n} - 4$ .

(1)、证明：{a_n+b_n}是等比数列，{a_n–b_n}是等差数列；

(2)、求{a_n}和{b_n}的通项公式.

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11. 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知a₁=-7，S₃=-15.

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、求S_n ，并求S_n的最小值。

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12. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，等比数列{b_n}的前n项和为T_n ， a₁=﹣1，b₁=1，a₂+b₂=2．
（Ⅰ）若a₃+b₃=5，求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若T₃=21，求S₃ ．

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