贵州省新高考联盟2021届高三下学期理数入学质量监测试卷

试卷更新日期：2021-06-17 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 1 < x < 6}$ ， $B = {x | x > 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | x < 6}$ B、 ${x | x > 2}$ C、 ${x | x > - 1}$ D、 ${x | 2 < x < 6}$

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2. 已知复数z满足 $zi = 2 + i$ ，i是虚数单位，则复数 $z = ($ 　　 $)$

A、 $- 1 + 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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3. 抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的准线方程为（）

A、 $y = - 2$ B、 $x = - 2$ C、 $y = - 1$ D、 $x = - 1$

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4. 2020年，面对新冠肺炎疫情的严重冲击，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，我国能源领域深入贯彻“四个革命､一个合作”能源安全新战略，全面落实中央“六保”工作部署，战疫情促生产､增供应保安全，能源生产稳中有增，进口较快增长，能源供应能力和水平不断巩固提升，为统筹推进疫情防控和经济社会发展提供了有力保障.下图是2020年1~12月分品种能源生产当月同比增长率情况变化图.下列说法错误的是（）

A、4~7月，原煤及天然气当月同比增长率呈下降趋势 B、9~12月，原煤及天然气当月同比增长率总体呈上升趋势 C、7月份品种能源生产当月同比增长率最高的是原油加工量同比增长率 D、2020年分品种能源生产当月同比增长率波动最小的是发电量同比增长率

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5. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, 0)$ ，若 $(λ \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、0 B、 $\frac{3}{5}$ C、1 D、3

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6. 已知二项式 ${(x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中，第二项和第四项的二项式系数相等，则 $n =$ （）

A、6 B、5 C、4 D、3

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7. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = 4$ ， $\cos 2 A = - \frac{7}{25}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆半径为（）

A、5 B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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8. 如图所示，A地到E地要铺设一条煤气管道，其中需经过三级中间站，两点之间的连线上的数字表示距离.则从A地到E地铺设煤气管道最短距离是（）

A、19 B、21 C、22 D、23

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x, x > 0 \\ 1, x \leq 0 \end{array}$ ，则使得 $f (x + 1) \geq f (2 x)$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1] \cup (0, 1]$

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10. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = 6$ ， $B C = 8$ ， $A C = 10$ ，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（）

A、 $16 π$ B、 $24 π$ C、 $36 π$ D、 $64 π$

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11. 已知函数 $f (x) = A sin (ω π x + \frac{π}{3})$ ，其中 $A > 0 ， ω > 0$ ，其图象满足最高点与相邻最低点间的距离为 $2$ ， $f (x)$ 相邻两个零点的差的绝对值为1，下列结论中错误的是（）

A、 $ω = 1$ B、 $f (x)$ 的最大值为1 C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{1}{6} ， 1)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的一个零点为 $\frac{2}{3}$

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12. 已知各项均大于1的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = e (e \approx 2.71828)$ ， ${a_{n}}$ 中任意相邻两项具有差为2的关系.记 $a_{n}$ 的所有可能值构成的集合为 $A_{n}$ ， $A_{n}$ 中所有元素之和为 $S_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，下列四个结论：
① $A_{2}$ 为单元素集；

② $S_{6} = 3 e + 12$ ；

③ $S_{2 n} - S_{2 n - 1} = 2 n$ ；

④若将 $A_{2 n + 3}$ 中所有元素按照从小到大的顺序排列得到数列 ${b_{n}}$ ，则 ${b_{n}}$ 是等差数列.

其中所有正确结论的编号为（）

A、①② B、①③ C、①③④ D、②③④

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二、填空题

13. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \leq 0 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为.

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14. 已知直线 $l_{1}$ ： $4 x + a y + 2 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $2 x + y = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值为.

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15. 曲线 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 只有一个公共点，则圆 $C$ 的面积为.

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16. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{4 x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $A B$ 过右焦点 $F_{2}$ ，和双曲线 $C$ 的右支交于 $A$ ， $B$ 两点，且满足 $| A F_{2} | = 2 | B F_{2} |$ ， $\cos ∠ F_{1} A B = \frac{3}{5}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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三、解答题

17. 为检测某种疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取100名志愿者，并将该疫苗首次注射到这些志愿者体内，独立环境下试验一段时间后检测这些志愿者的某项医学指标值并制成如下的频数分布表(以志愿者医学指标值在各个区间上的频率代替其概率).若这些志愿者的该项医学指标值Y低于21时，则认定其体内已经产生抗体，否则认定其体内没有产生抗体.

分组	[11，13)	[13，15)	[15，17)	[17，19)	[19，21)	[21，23)	[23，25]
频数	4	8	13	50	15	a	4

(1)、估计该100名志愿者中某一名志愿者产生抗体的概率；

(2)、若从接种该疫苗的志愿者(人数较多)中任选2人，没有产生抗体的志愿者人数记为X.求X的分布列及期望.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面PBC $⊥$ 平面 $A B C D ， ∠ P B C = 90^{\circ} ， A D / / B C ， ∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $2 A B = 2 A D = \sqrt{2} C D = B C = 2$

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若直线 $P D$ 与底面 $A B C D$ 所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求二面角 $B - P C - D$ 的正切值.

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19. 已知各项均为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 9$ ，且 $a_{1} + 1$ ， $a_{2} + 1$ ， $a_{3} + 3$ 构成等比数列 ${b_{n}}$ 的前三项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = 1 + 2 \log_{2} b_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{a_{n} \cdot c_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2},$ 焦距为 $2 \sqrt{3},$ 椭圆 $C$ 的右顶点到点 $F_{2}$ 的距离与它到直线 $l : x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设O为坐标原点， $A, B$ 为椭圆 $C$ 上不同的两点，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $D .$ 若直线 $B D$ 的斜率为1，求证： $△ O A B$ 的面积为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{sin x + cos x - 1}{e^{x}}$

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 内的单调递增区间；

(2)、若对 $\forall x \in [0 ， + \infty) ， f (x) ⩽ a x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 \cos α \\ y = 2 \sin α \end{array}$ ( $α$ 为参数).以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (α + \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求曲线 $C$ 和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若点 $P$ 为直线 $l$ 上一动点，直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| P A | \cdot | P B | = 16$ ，求点 $P$ 的直角坐标.

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23. 已知函数 $f (x) = | x | + 2 | x - 4 |$ 的最小值为 $m$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、已知非零实数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} + b^{2} = m$ ，若不等式 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} \geq \frac{t^{2}}{4} - 2 t$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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