安徽省十校联盟2021届高三下学期理数开学考试试卷

试卷更新日期：2021-06-17 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 ⩽ x < 2}$ ， $B = {x \in N | x^{2} + 2 x - 8 ⩽ 0}$ ，则 $A \cap B$ 的真子集个数为（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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2. 若纯虚数 $z$ 满足 $z \cdot (2 - 3 i) = 5 + m i$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- \frac{15}{2}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、 $- \frac{10}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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3. “共享单车，绿色出行”是近年来火爆的广告词，现对某市10名共享单车用户一个月内使用共享单车的次数进行统计，得到数据如下所示，下列关于该组数据的说法错误的是（）

A、极差为36 B、众数为34 C、中位数为27 D、平均数为32

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4. “ $m < 4$ ”是“函数 $f (x) = 2 x^{2} - m x + \ln x$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若 $\sin α (2 - \cos^{2} α) = 2 \cos α (\sin^{2} α + 1)$ ，则 $\tan (\frac{π}{4} - 2 α) =$ （）

A、-7 B、7 C、 $- \frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{7}$

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6. 已知 $x = 3^{\frac{1}{2}}$ ， $y = {0.5}^{0.3}$ ， $z = \log_{0.2} 0.5$ ，则（）

A、 $y < z < x$ B、 $x < z < y$ C、 $z < x < y$ D、 $z < y < x$

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7. 已知抛物线 $x^{2} = 8 y$ 的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作 $P Q ⊥ l$ ，垂足为Q，若 $| P F | = 4$ ，则 $∠ F Q P =$ （）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $75^{\circ}$

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8. 2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年.为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访，每个村安排男､女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有（）

A、72种 B、108种 C、144种 D、210种

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9. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $P$ 在棱 $A D$ 上，过点 $P$ 作该正方体的截面，当截面平行于平面 $B_{1} D_{1} C$ 且面积为 $\sqrt{3}$ 时，线段 $A P$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足：①图象关于原点对称；② $f (x) = f (\frac{3}{2} - x)$ ；③当 $x \in (0, \frac{3}{4})$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + 1) + m$ .若 $f (2020) = \log_{2} 3$ ，则 $m =$ （）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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11. 将函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后得到的部分图象如图所示，有下列四个结论：① $f (0) = 1$ ；② $y = f (x) - \sqrt{3}$ 在 $[0 ， π]$ 上有两个零点；③ $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称；④ $f (x)$ 在区间 $[\frac{2 π}{3} ， \frac{8 π}{3}]$ 上单调递减，其中所有正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线l与C的两支分别交于点A，B，若点M满足 $\vec{A M} = \vec{M B}$ ， $| \vec{M F_{2}} | = \frac{1}{2} | \vec{A B} | = 2 a$ ，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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二、填空题

13. 若实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x - 3 y ⩾ 0 \\ x + y \leq 4 \\ y + 1 ⩾ 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最大值为.

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14. 若平面向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 满足 $| \vec{m} | = 2$ ， $| \vec{n} | = 3$ ，且 $| 3 \vec{m} - 2 \vec{n} | = 6$ ，则 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 夹角的大小为.

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15. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $c \sin A + \sqrt{3} a \sin (C + \frac{π}{2}) = 0$ ， $c = \sqrt{3} b = 6$ ，且点M满足 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ ，则 $C M$ 的长为.

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16. 在正三棱锥 $S - A B C$ 中， $A B = B C = C A = 6$ ，点 $D$ 是 $S A$ 的中点，若 $S B ⊥ C D$ ，则该三棱锥外接球的表面积为.

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三、解答题

17. 已知首项为4的数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{S_{n + 1}}{3} = \frac{S_{n} + 2 a_{n}}{3} + 2^{n + 1}$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 为等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 已知多面体 $S A B C D S^{'}$ 如图所示，四边形 $A B C D$ 为梯形， $∠ B A D = ∠ A D C = 90 °$ ， $S D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $S D / / S^{'} B$ ， $A B = S D = \frac{\sqrt{2}}{2} S^{'} A = 3$ ， $A D = C D = 4$ .

(1)、求证： $D S^{'} / /$ 平面 $B C S$ ；

(2)、求平面 $A B S^{'}$ 与平面 $C D S^{'}$ 所成锐二面角的余弦值.

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19. 某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善.据统计，该校2014年到2020年所招的学生高考成绩不低于600分的人数y与对应年份代号x的数据如下：

年份	2014	2015	2601	2017	2018	2019	2020
年份代号x	1	2	3	4	5	6	7
不低于600分的人数y（单位：人）	29	33	36	44	48	52	59

(1)、若y关于x具有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

，并预测2021年该校所招的学生高考成绩不低于600分的人数；

(2)、今有

A

、

B

、

C

、

D

四位同学报考该校，已知

A

、

B

、

C

被录取的概率均为

\frac{1}{3}

，

D

被录取的概率为

\frac{1}{2}

，且每位同学是否被录取相互不受影响，用

X

表示此

4

人中被录取的人数，求

X

的分布列与数学期望.

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} y_{i} = 301$ ， $\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 140$ .

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $P (- 1, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{2} x + m$ ( $m \neq 0$ 且 $m \neq - \sqrt{3}$ )交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，记直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，探究： $k_{1} k_{2}$ 是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = {(x - m)}^{\frac{1}{2}} - \sin x$ ，其中 $m < - \frac{1}{4}$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求证： $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上有唯一极小值点.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos α \\ y = \sqrt{3} + \sin α \end{array}$ ( $α$ 为参数)，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = θ_{0} (ρ \in R)$ .

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、当 $θ_{0} \in (\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 时，设直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $| O M | + | O N |$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (| 2 x - 1 | + | x - 4 | - m) (m \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，求 $m$ 的取值集合 $M$ ；

(2)、在（1）的条件下，正数 $a$ ， $b$ 满足 $a$ ， $b \in M$ ，求证： $\frac{a + b}{4 a b + 49} < \frac{1}{14}$ .

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