江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-06-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = x^{2} + \sin x$ 在区间 $[0 ， π]$ 上的平均变化率为（）

A、1 B、2 C、π D、π²

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2. “3+1+2”高考方案中，“3”是指统一高考的语文､数学､外语3门科目，“1”是指考生在物理､历史两门选择性考试科目中所选择的1门科目，“2”是指考生在思想政治､地理､化学､生物4门选择性考试科目中所选择的2门科目.小明同学非常喜欢化学，所以必选化学，那么他的选择方法数有（）

A、4种 B、6种 C、8种 D、12种

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3. 若函数 $y = f (x)$ 的图象在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程是 $y = x - 1$ ，则 $f (2) + f^{'} (2) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 若函数 $y = f (x)$ 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 $y = f (x)$ 具有T性质.下列函数中具有T性质的是（）

A、 $y = \ln x$ B、 $y = \cos x$ C、 $y = e^{x}$ D、 $y = \sqrt{x}$

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5. 若函数 $f (x) = x + t \sin x$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上单调递增，则实数t的取值范围是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， + \infty)$ C、 $[- 2 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， + \infty)$

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6. 5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有（）

A、60种 B、90种 C、150种 D、240种

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7. 若曲线 $y = \ln x$ 在点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 处的切线与曲线 $y = e^{x}$ 相切于点 $Q (x_{2} ， y_{2})$ ，则 $\frac{x_{1} + 1}{x_{1} - 1} + x_{2} =$ （）

A、-1 B、1 C、0 D、e

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8. 若 $a < 4$ 且 $4^{a} = a^{4}$ ， $b < 5$ 且 $5^{b} = b^{5}$ ， $c < 6$ 且 $6^{c} = c^{6}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c \leq b$

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二、多选题

9. 从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（）

A、如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法 B、如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法 C、如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法 D、如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法

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10. 若 $2 \leq m \leq n$ ，m， $n \in N^{*}$ ，则下列等式中正确的有（）

A、 $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m - 1} + C_{n}^{m}$ B、 $m C_{n}^{m} = n C_{n - 1}^{m - 1}$ C、 $A_{n}^{m} = m A_{n - 1}^{m - 1}$ D、 $A_{n}^{m} + m A_{n}^{m - 1} = A_{n - 1}^{m}$

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11. 若函数 $f (x) = x \ln (x + 2)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 有两个零点 C、 $f (x)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处切线的斜率为-1 D、 $f (x)$ 是奇函数

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12. 若函数 $f (x) = | x + 1 | + | x - 1 | + 2 \cos x$ ， $g (x) = f (x) - a$ ，则（）

A、当 $a = 5$ 时， $g (x)$ 有两个零点 B、当 $a = 4$ 时， $g (x)$ 有三个零点 C、当 $a = 2$ 时， $g (x)$ 有一个零点 D、当 $a = 3$ 时， $g (x)$ 有四个零点

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三、填空题

13. 写出一个满足条件：① $f (- x) + f (x) = 0$ ，② $f^{'} (x) \geq 0$ 的函数 $f (x) =$ .

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14. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图就是一重卦.如果某重卦中恰有3个阴爻，则该重卦可以有种.(用数字作答)

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15. 已知函数 $f (x) = {(x + a)}^{2} + {(\ln x + e a)}^{2}$ ，若存在 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) \leq \frac{4}{e^{2} + 1}$ ，则实数a的值是.

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16. 如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成角为 $α = \frac{π}{4}$ ，传输带以0.9 $m^{3} / min$ 的速度送煤，则r关于时间t的函数是，当半径为 $3 m$ 时，r对时间t的变化率为.

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四、解答题

17.

(1)、若 $3 A_{n}^{3} - 6 A_{n}^{2} = 4 C_{n + 1}^{2}$ ，求n；

(2)、已知 $x > 0$ ，求 $(1 + x) + {(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{10}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数.(用数字表示结果)

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18. 用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数.

(1)、在组成的三位数中，求所有偶数的个数；

(2)、在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；

(3)、在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.

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19. 已知函数 $f (n ， x) = {(\frac{2}{m} + \frac{m}{x})}^{n}$ ( $m > 0$ ， $x > 0$ ).

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $f (7 ， x)$ 的展开式中二项式系数最大的项；

(2)、若 $f (10 ， x) = a_{0} + \frac{a_{1}}{x} + \frac{a_{2}}{x^{2}} + \dots + \frac{a_{10}}{x^{10}}$ ，且 $a_{2} = 180$ ，
①求 $\sum_{i = 1}^{10} a_{i}$ ；

②求 $a_{i}$ ( $0 \leq i \leq 10$ ， $i \in N$ )的最大值.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{m}{2} x^{2} - x + \frac{1}{6}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $f (x)$ 上过点 $(1 ， f (1))$ 的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ ▲ ，求实数m的取值范围.
①在区间 $(m ， m + 1)$ 上是单调减函数；

②在 $(\frac{1}{2} ， 2)$ 上存在减区间；

③在区间 $(m ， + \infty)$ 上存在极小值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{2} x - \sin x$ ， $x \in [0 ， π]$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最值；

(2)、若 $f (x) + x^{2} \geq 0$ ，求实数a的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ， $g (x) = \ln x + \frac{x^{2}}{2} - a x$ ， $g^{'} (x)$ 是 $g (x)$ 的导函数.

(1)、讨论函数 $g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 的单调性；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) g^{'} (x) - 1$ 在区间 $(0 ， 2)$ 内有两个不同的零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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