江苏省南京市2020-2021学年高二下学期数学期初考试试卷

试卷更新日期：2021-06-17 类型：开学考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \geq 0 ， 2 - x^{2} \leq 2$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \geq 0 ， 2 - x^{2} > 2$ B、 $\exists x \geq 0 ， 2 - x^{2} > 2$ C、 $\forall x < 0 ， 2 - x^{2} > 2$ D、 $\exists x < 0 ， 2 - x^{2} > 2$

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2. 如图在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{C E} =$ （）

A、 $- \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$

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3. 数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = 2^{n} + 2 n$ ，若该数列的第k项 $a_{k}$ 满足40< $a_{k}$ <70，则k的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程 $a^{2} - x^{2} = k y^{2}$ (k>0，k≠1，a≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A ， B两点)引垂线，垂足为Q ，则 $\frac{P Q^{2}}{A Q \cdot B Q}$ 为常数.据此推断，此常数的值为（）

A、椭圆的离心率 B、椭圆离心率的平方 C、短轴长与长轴长的比 D、短轴长与长轴长比的平方

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5. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - x - 1$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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6. 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC₁与B₁C相交于点O ， ∠A₁AB=∠A₁AC= $60^{\circ}$ ，∠BAC= $90^{\circ}$ ，A₁A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{29}}{2}$ B、 $\sqrt{29}$ C、 $\frac{\sqrt{23}}{2}$ D、 $\sqrt{23}$

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7. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $S_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} - \frac{1}{2^{n}} ， n \in N^{*}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + \dots + S_{100} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} [{(\frac{1}{2})}^{100} - 1]$ B、 $\frac{1}{3} [{(\frac{1}{2})}^{98} - 1]$ C、 $\frac{1}{3} [{(\frac{1}{2})}^{50} - 1]$ D、 $\frac{1}{3} [{(\frac{1}{2})}^{49} - 1]$

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8. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆和双曲线的公共焦点， $P$ 是它们的一个公共点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 $e_{1} ， e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}} + \frac{\sqrt{3}}{e_{2}}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 等差数列 ${a_{n}}$ 是递增数列，满足 $a_{7} = 3 a_{5}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $d > 0$ B、 $a_{1} < 0$ C、当 $n = 5$ 时 $S_{n}$ 最小 D、 $S_{n} > 0$ 时 $n$ 的最小值为 $8$

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10. 已知 $F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的右焦点，椭圆上至少有 $21$ 个不同的点 $P_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot)$ ， $| F P_{1} |$ 、 $| F P_{2} |$ 、 $| F P_{3} |$ 、…组成公差为 $d (d > 0)$ 的等差数列，则下列结论正确的是（）

A、该椭圆的焦距为6 B、 $| F P_{1} |$ 的最小值为2 C、 $d$ 的值可以为 $\frac{3}{5}$ D、 $d$ 的值可以为 $\frac{3}{10}$

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11. 下列说法正确的是（）

A、“ $| x - 1 | < 2$ ”是“ $x^{2} - x - 2 < 0$ ”的必要不充分条件 B、“ $x y = 1$ ”是“ $\lg x + \lg y = 0$ 的充要条件 C、过点 $P (- 1 ， 1)$ 且与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 有且只有一个交点的直线有3条 D、若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该点轨迹是一条抛物线

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12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a_n}称为“斐波那契数列”，记S_n为数列{a_n}的前n项和，则下列结论正确的是（）

A、a₈＝34 B、S₈＝54 C、S₂₀₂₀＝a₂₀₂₂－1 D、a₁＋a₃＋a₅＋…＋a₂₀₂₁＝a₂₀₂₂

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三、填空题

13. 已知命题“ $\exists x \in R$ ， $4 x^{2} + (a - 2) x + \frac{1}{4} < 0$ ”是假命题，则实数a的取值范围是.

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14. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 3 ， B C = 3 ， A B = 3 \sqrt{2} ， A A_{1} = 2$ ，则异面直线 $A_{1} C$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为.

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15. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + a_{n} = 1$ ，记 $b_{m}$ 为数列 ${a_{n}}$ 中能使 $a_{n} \geq \frac{1}{2 m + 1} (m \in N^{*})$ 成立的最小项，则数列 ${b_{m}}$ 的前15项之和为.

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16. 直线 $l$ 过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F (1, 0)$ ，且与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则 $p =$ ， $\frac{1}{| A F |} + \frac{1}{| B F |} =$ ．

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四、解答题

17. 已知首项为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 是递减数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{1} ， 3 a_{2} ， 4 a_{3}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .

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18. 如图，已知ABCD为正方形， $G D ⊥$ 平面ABCD ， $A D / / E G$ 且 $A D = 2 E G$ ， $G D / / C F$ 且 $G D = 2 F C$ ， $D A = D G = 2$ .

(1)、求平面BEF与平面CDGF所成二面角的余弦值；

(2)、设M为FG的中点，N为正方形ABCD内一点（包含边界），当 $M N / /$ 平面BEF时，求线段MN的最小值.

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19. 如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ， $P$ 为椭圆上在第一象限内一点.

(1)、若 $S_{△ P F_{1} F_{2}} = S_{△ P A F_{2}}$ ，求椭圆的离心率；

(2)、若 $S_{△ P F_{1} F_{2}} = S_{△ P A F_{2}} = S_{△ P B F_{1}}$ ，求直线 $P F_{1}$ 的斜率 $k$ .

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20. 已知数列数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和且 $S_{n} ， a_{n} \neq 0 ， a_{1} = 1$ ，且 $2 a_{n} a_{n + 1} = 4 S_{n} - 3 (n \in N^{+})$ .

(1)、求 $a_{2}$ 的值，并证明： $a_{n + 2} - a_{n} = 2$ ；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、求 $S_{100}$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + 4) x + 3 a (a \in R)$ .

(1)、解关于x的不等式 $f (x) + x < 0$ ；

(2)、若对 $\forall x \in [2 ， 6]$ ，都有 $f (x) \geq a - 10$ 成立，求a的最大值.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 且过定点 $D (- \sqrt{3} ， 1)$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设平行于OD的直线l与椭圆C交于A ， B两点（如图所示）.
①线段AB的长度是否有最大值？并说明理由；

②若直线DA ， DB与x轴分别交于M ， N两点，记M ， N的横坐标为m ， n ，求证： $m + n$ 为定值.

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