湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高二下学期数学2月开学收心考试试卷

试卷更新日期：2021-06-17 类型：开学考试

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一、单选题

1. “ $x > 5$ ”是“ $x > 10$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 抛物线 $y = - 7 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(- \frac{7}{4}, 0)$ B、 $(0, - \frac{7}{4})$ C、 $(- \frac{1}{28}, 0)$ D、 $(0, - \frac{1}{28})$

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3. 某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示(单位：分)，学校规定：成绩不低于130分的人到A班培训，低于130分的人到B班培训，如果用分层抽样的方法从到A班的人和到B班的人中共选取5人，则5人中到A班的有（）

A、1人 B、2人 C、3人 D、4人

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4. 函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - \ln x$ 的单调递减区间为（）

A、 $(\frac{\sqrt{6}}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \frac{\sqrt{6}}{2} ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ D、 $(- \infty ， \frac{\sqrt{6}}{2})$

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5. 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形 $A B C D$ 的边 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 的中点，用 $\vec{B A} ， \vec{B D} ， \vec{B C}$ 表示 $\vec{E G}$ ，则 $\vec{E G} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B D} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B D} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B D} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B D} - \frac{1}{2} \vec{B C}$

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6. 某次会议上，甲､乙､丙三人坐定后又随机交换座位(可以选择保持位置不变)，则至少有1人仍然坐在原来的座位的概率（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 下列命题中真命题的个数是（）
⑴若两条直线没有公共点，则这两条直线为异面直线

⑵若直线a不平行于平面 $α$ ，则 $α$ 内一定不存在与a平行的直线

⑶平行于同一直线的两个平面平行

⑷已知两个平面垂直，过其中一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 已知 $0 < a < 4$ 且 $a \ln 4 = 4 \ln a$ ， $0 < b < 3$ 且 $b \ln 3 = 3 \ln b$ ， $2 < 2^{c} < 4$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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二、多选题

9. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $z_{1}, z_{2}$ 互为共轭复数，则 $z_{1} z_{2}$ 为实数 B、若i为虚数单位，n为正整数，则 $i^{4 n + 3} = i$ C、复数 $\frac{5}{i - 2}$ 的共轭复数为 $- 2 - i$ D、若m为实数，i为虚数单位，则“ $\frac{2}{3} < m < 1$ ”是“复数 $m (3 + i) - (2 + i)$ 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件

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10. 有一种鱼的身体吸收汞，汞的含量超过体重的 $1.00 ppm$ (即百万分之一)时就会对人体产生危害在一批鱼中随机抽取30条鱼作为样本，得到鱼体内汞含量的频率分布直方图如下图所示，则下列说法正确的是（）

A、若以该样本数据的频率作为总体的概率，则从这批鱼中任取一条，鱼体内汞含量高于 $1.5 ppm$ 的概率为 $\frac{1}{6}$ B、图中实数a的值为 $\frac{3}{15}$ C、估计该样本数据的中位数为1.25 D、从该样本中鱼体内汞含量高于 $1.5 ppm$ 的鱼中随机抽取两条鱼，这两条鱼体内汞含量都低于 $2.0 ppm$ 的概率为 $\frac{3}{5}$

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11. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $6$ ，焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，长轴的端点为 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ，点 $M$ 是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆 $C$ 的离心率为 $e$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $△ M F_{1} F_{2}$ 的周长为 $16$ ，则椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、若 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积最大时， $∠ F_{1} M F_{2} = 120^{\circ}$ ，则 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、若椭圆 $C$ 上存在点 $M$ 使 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ ，则 $e \in (0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、以 $M F_{1}$ 为直径的圆与以 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆内切

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12. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ ，且有 $P A = P B = P D$ ， $B C / / A D$ ， $B C ⊥ A B$ ， $B C = 2$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P B ⊥ A D$ B、 $B D ⊥ P C$ C、平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ D、三棱锥 $P - A B D$ 与三棱锥 $P - B C D$ 的外接球表面积之比为 $\frac{4}{5}$

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三、填空题

13. 已知直线l在平面 $α$ 外，且 $\vec{a} = (- 2, 2, 5)$ 是直线l的方向向量， $\vec{b} = (6, - 4, 4)$ 是平面 $α$ 的法向量，则直线l与平面 $α$ 的位置关系为.

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14. 已知双曲线C的焦点在y轴上且离心率为2，写出一个满足条件的曲线C的方程为.

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15. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} + a (\frac{2}{x} - 1)$ (其中e为无理数且 $e = 2.718 \dots$ )在 $(1 ， + \infty)$ 上有两个零点，且 $\exists x \in (\frac{3}{2} ， 2)$ 使 $f (x) \geq 0$ 成立，则实数a的取值范围为.

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16. 已知圆锥底面半径为 $\frac{1}{2}$ ，母线长为2，则圆锥的表面积为，点A为底面圆周上一点，若一只蚂蚁从点A出发沿着圆锥的侧面爬行一周回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离为.

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四、解答题

17. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点为F， $M (1, t)$ 为抛物线C上的点，且 $| M F | = \frac{3}{2}$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若直线 $y = x - 2$ 与抛物线C相交于A，B两点，求弦长 $| A B |$ .

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18. 已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $(a + 1) x^{2} + (a + 1) x + 1 > 0$ 恒成立；命题q：曲线 $\frac{x^{2}}{a - m + 1} + \frac{y^{2}}{a - m - 1} = 1$ 表示双曲线.使命题p为真的a的取值范围记为集合P，使命题q为真的a的取值范围记为集合Q.

(1)、求集合P；

(2)、若 $x \in P$ 是 $x \in Q$ 的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

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19. 根据对某商品近5个月的调查数据进行统计，得到该商品的月销售单价x(单位：元/件)与月销售量y(单位：千件)之间有如下对应关系：

x

2

4

5

6

8

y

7

5

6

4

3

(1)、建立y关于x的回归直线方程；

(2)、根据（1）的结果，若该商品成本为3元/件，则月销售价x为何值时(x不超过12)，月利润预计值最大？(结果保留两位小数)
$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ D A B = ∠ D A P = 60 ° ， P A = P D$ ，平面 $P A D$ 垂直于平面 $A B C D$ ，G，H分别为 $△ P A D$ 和 $△ A B D$ 的重心.

(1)、证明： $G H / /$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求锐二面角 $D - P B - C$ 的余弦值.

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21. 已知 $P$ 为圆 $M ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 36$ 上任意一点，点 $N (1 ， 0)$ ，线段 $P N$ 的垂直平分线交直线 $P M$ 于 $Q$ ，动点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l ： x = 4$ ， $A (- 3 ， 0)$ 、 $B (3 ， 0)$ ， $S$ 为曲线 $C$ 上的点且 $S$ 与 $A$ 、 $B$ 不重合，直线 $A S$ 和直线 $B S$ 分别与 $l$ 相交于 $D$ 、 $E$ ，问 $\vec{A D} \cdot \vec{B E}$ 是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

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22. 已知 $f (x) = a x + \frac{b}{x} - \ln \frac{x}{c}$ .

(1)、当 $a = 1 ， b = 1 ， c = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上的最大值；

(2)、当 $b = - 1 ， c = 1 ， a \in R$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性.

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