河南省洛阳市2020-2021学年高二下学期理数期末质量检测试卷

试卷更新日期：2021-06-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{z}{1 - i} = | 1 + i |$ ，则 $z$ 的共轭复数对应的点位于复平面的（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 在用最小二乘法进行线性回归分析时，有下列说法：
①由样本数据得到的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ ；

②由样本点 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ，…， $(x_{n}, y_{n})$ 得到回归直线，则这些样本点都在回归直线上；

③利用 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \hat{y_{i}})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ 来刻画回归的效果， $R^{2} \approx 0.75$ 比 $R^{2} \approx 0.64$ 的模型回归效果好；

④残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越低；

其中正确的结论是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、②④

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3. 已知 ${\begin{array}{l} x + y - 4 \leq 0 \\ x - 2 y + 2 \geq 0 \\ x \geq 0 ， y \geq 0 \end{array}$ ，则 $x + 2 y$ 的最大值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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4. 双曲线 $C ： y^{2} - x^{2} = a^{2} (a > 0)$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A B | = 4$ ，则双曲线 $C$ 的实轴长为（）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 使得 $a > b > 0$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $\frac{1}{b} > \frac{1}{a} > 0$ B、 $e^{a} > e^{b}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $\ln a > \ln b > 0$

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6. 已知 $C_{n}^{0} + 3 C_{n}^{1} + 3^{2} C_{n}^{2} + 3^{3} C_{n}^{3} + \cdot \cdot \cdot + 3^{n} C_{n}^{n} = 1024$ ，则 $C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \cdot \cdot \cdot + C_{n}^{n}$ 的值等于（）

A、31 B、32 C、63 D、64

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7. 南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”翻译一下这段文字，即已知三角形的三边长，可求三角形的面积为 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ .若 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c^{2} \sin A = \sin C$ ， $\cos B = \frac{4}{5}$ ， $a < b < c$ ，则用“三斜求积术”求得 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、1 C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{10}$

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8. 从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，事件 $A$ 为“取到的两张中至少有一张为假钞”，事件 $B$ 为“取到的两张均为假钞”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{19}$ B、 $\frac{17}{18}$ C、 $\frac{4}{19}$ D、 $\frac{2}{17}$

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9. 如果数列{a_n}满足a₁＝2，a₂＝1，且 $\frac{a_{n - 1} - a_{n}}{a_{n - 1}}$ ＝ $\frac{a_{n} - a_{n + 1}}{a_{n + 1}}$ (n≥2)，则这个数列的第10项等于（）

A、 $\frac{1}{2^{10}}$ B、 $\frac{1}{2^{9}}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{10}$

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10. 如图1，在直角梯形 $A_{3} A_{2} A_{1} C_{1}$ 中， $A_{3} B = B C = C A_{2} = B B_{1} = 1$ ， $A_{2} A_{1} // C C_{1} // B B_{1}$ ，沿 $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 折叠，使点 $A_{3}$ ， $A_{2}$ 重合于点 $A$ ，如图2，则异面直线 $A B_{1}$ ， $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{20}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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11. 若 $3^{a} + \frac{\ln 3}{3} = 5^{b} + \frac{\ln 5}{5} = 7^{c} + \frac{\ln 7}{7}$ ，则（）

A、 $c l n 7 > b \ln 5 > a \ln 3$ B、 $b \ln 5 > a \ln 3 > c \ln 7$ C、 $a \ln 3 > c \ln 7 > b \ln 5$ D、 $c \ln 7 > a \ln 3 > b \ln 5$

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12. 函数 $y = f (x)$ 图象上不同两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 处的切线的斜率分别是 $k_{A}$ ， $k_{B}$ ，规定 $φ (A ， B) = \frac{| k_{A} - k_{B} |}{| A B |}$ 叫做曲线 $y = f (x)$ 在点 $A$ 与点 $B$ 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数 $y = x^{3} - x^{2} + 1$ 图象上两点 $A$ 与 $B$ 的横坐标分别为1，2，则 $φ (A ， B) > \sqrt{3}$ ；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点 $A$ 、 $B$ 是抛物线 $y = x^{2} + 1$ 上不同的两点，则 $φ (A ， B) \leq 2$ ；④设曲线 $y = e^{x}$ 上不同两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，且 $x_{1} - x_{2} = 1$ ，若 $t \cdot φ (A ， B) < 1$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是 $(- \infty ， 1)$ .以上正确命题的序号为（）

A、①② B、②③ C、③④ D、②③④

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二、填空题

13. 已知随机变量 $X ~ B (5, \frac{1}{2})$ ，则 $P (X = 2) =$ .

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14. 函数 $y = \sin x$ ， $y = \cos x$ 与y轴在第一象限内所围成平面图形的面积为.

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15. 2021年，北京冬奥组委会召开记者招待会，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出4个媒体团进行现场提问，要求这四个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为.（用数字作答）

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16. 若 $x < y$ 时，不等式 $2 [\sin (x + \frac{π}{4}) - \sin (y + \frac{π}{4})] < m (x - y)$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 3$ ， $2 S_{n} + 3 = a_{n + 1}$ .

(1)、证明数列 ${a_{n}}$ 为等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \log_{3} a_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b \cos A \sin B + a \cos B \sin B = - \sqrt{3} b \cos C$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长 $L$ 的最大值.

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19. 圆柱的底面圆直径 $A C = \sqrt{2}$ ， $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 均为圆柱的母线，点 $E$ 在 $A A_{1}$ 上，且 $B E ⊥ E C_{1}$ .

(1)、证明： $B E ⊥$ 平面 $E B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $E$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $B$ 为弧 $A C$ 的中点，且 $A E = A B$ ，求二面角 $C - E B_{1} - C_{1}$ 的余弦值.

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20. 某中学模拟新高考模式，将本校期末考试成绩划分为A、B、C三个等级.教务处为了调研高一新生学习情况，随机抽取了高一某班10名同学的语文、数学、英语成绩，并对他们的成绩进行量化：A级记为2分，B级记为1分，C级记为0分，用

(x, y, z)

表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，得到如下结果：

人员编号	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$	$A_{6}$	$A_{7}$	$A_{8}$	$A_{9}$	$A_{10}$
$(x, y, z)$	$(1, 1, 2)$	$(2, 1, 1)$	$(2, 2, 2)$	$(0, 0, 1)$	$(1, 2, 1)$	$(1, 2, 2)$	$(1, 1, 1)$	$(1, 2, 2)$	$(1, 2, 1)$	$(1, 1, 1)$

现用综合指标 $ω = x + y + z$ 的值评定该同学的得分等级：若 $ω \geq 4$ ，则得分等级为一级；若 $2 \leq ω \leq 3$ ，则得分等级为二级；若 $0 \leq ω \leq 1$ ，则得分等级为三级.

(1)、在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；

(2)、从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为

a

，从得分等级不是一级的同学中任取一人，其综合指标为

b

，记随机变量

X = a - b

，求

X

的分布列及数学期望.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上、下顶点分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，平行于 $x$ 轴的直线 $l$ 经过点 $D (0 ， \frac{b}{2})$ ，且与椭圆 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，四边形 $B_{1} P B_{2} Q$ 的面积为6.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、点 $M$ 是椭圆 $C$ 上一动点，直线 $M F_{1}$ ， $M F_{2}$ 分别与椭圆 $C$ 交于点 $A$ ， $B$ ，试问： $\frac{| M F_{1} |}{| F_{1} A |} + \frac{| M F_{2} |}{| F_{2} B |}$ 是否为定值?若是，求出该定值.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + a \ln x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 4$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，不等式 $f (x_{1}) \geq m x_{2}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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