安徽省皖江名校联盟2020-2021学年高二下学期理数开年考试卷

试卷更新日期：2021-06-17 类型：开学考试

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一、单选题

1. 直线2x﹣y﹣12＝0的斜率为（）

A、2 B、﹣2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 命题“ $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 2 ⩾ 0$ ”的否定形式为（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 2 < 0$ B、 $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 2 ⩾ 0$ C、 $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 2 ⩽ 0$ D、 $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 2 < 0$

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3. 设 $α, β$ 是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）

A、若 $l ⊥ α, α ⊥ β$ ，则 $l \subset β$ B、若 $l / / α, α / / β$ ，则 $l \subset β$ C、若 $l ⊥ α, α / / β$ ，则 $l ⊥ β$ D、若 $l / / α, α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ β$

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4. 下面四个条件中，使 $a > b$ 成立的充分而不必要的条件是（）

A、 $a > b + 1$ B、 $a > b - 1$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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5. 将一段5米长的绳子随意剪成两段，则两段之差小于1米的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 已知双曲线 $C$ 过点 $M (2, 2)$ ，且与 $x^{2} - 4 y^{2} = 4$ 有相同的渐近线，则双曲线 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{12} = 1$

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7. 《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 根据程序框图，当输入 $x$ 为2020时，输出的 $y =$ （）

A、2 B、4 C、10 D、28

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9. 已知命题p：f（x）＝cosx是周期函数；命题q：若m＞0，则关于x的方程x²+mx+m＝0有两个不相等的实数根.下列说法正确的是（）

A、“p∨q”为真命题 B、“p∧q”为真命题 C、“￢p”为真命题 D、“￢q”为假命题

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10. 直线 $l$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，若直线 $l$ 分别与 $x, y$ 轴交于 $A, B$ 两点，则 $| A B |$ 最小值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： ${cm}^{3}$ ）是

A、 $\frac{π}{2} + 1$ B、 $\frac{π}{2} + 3$ C、 $\frac{3 π}{2} + 1$ D、 $\frac{3 π}{2} + 3$

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12. 已知A、B分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点，抛物线y²＝2px（p＞0）与椭圆C相交于M、N两点，若AM、BN的斜率之积为 $\frac{4}{9}$ ，则椭圆C离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{9}$

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二、填空题

13. 抛物线y=4x²的焦点坐标是．

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14. 一汽车厂生产A ， B ， C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：

轿车A

轿车B

轿车C

舒适型

100

150

z

标准型

300

450

600

按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则z的值为．

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15. 篮球运动员甲每场比赛得分的茎叶图如下：则该运动员比赛得分的方差为 $s^{2} =$ .

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16. 已知 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面外的一点， $M 、 N$ 分别是 $A B 、 P C$ 的中点，若 $M N = B C =$ $4 ， P A = 4 \sqrt{3}$ ，则异面直线 $P A$ 与 $M N$ 所成角的大小是.

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三、解答题

17. 如图，在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中.

(1)、求证：平面 $A C D^{'} / /$ 平面 $A^{'} C^{'} B$ ；

(2)、求证： $D B^{'} ⊥$ 平面 $A C D^{'}$ .

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18. 从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题.

(1)、80~90这一组的频数､频率分别是多少？

(2)、估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数､中位数(不要求写过程).

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19. 已知动点 $P$ 到两定点 $M (- 3, 0), N (3, 0)$ 的距离满足 $| P M | = 2 | P N |$ .

(1)、求证：点 $P$ 的轨迹为圆；

(2)、记（1）中轨迹为 $⊙ C$ ，过定点(0，1)的直线 $l$ 与 $⊙ C$ 交于 $A, B$ 两点，当 $| A B | = 2 \sqrt{15}$ 时，求直线 $l$ 的方程.

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20. 某市教育部门为了了解在校学生某学期体育课时间与期末体育测试成绩的关系，现随机抽取了8所学校进行调研，得到8所学校该学期学生体育课时间平均值

x

(单位：小时)以及期末体育得分平均值y(单位：分)，数据如下表：

学校编号	1	2	3	4	5	6	7	8
学生体育时间平均值(单位：小时)	100	95	93	83	82	75	70	62
学生体育成绩平均值(单位：分)	86.5	83.5	83.5	81.5	80.5	79.5	77.5	76.5

(1)、已知

x

与

y

之间具有线性相关关系，求y关于

x

的线性回归方程；

(2)、下学期该市教育部门准备从8所学校中抽取2所进行体育观摩教学，求抽取的2所学校学生体育课时间平均值均超过80小时的概率.

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；参考数据： $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i} = 53844, \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = 55656.$

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21. 如图，三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 的棱长均为2， $O$ 为 $A C$ 的中点，平面 $A A^{'} C^{'} C ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $A^{'} O B ⊥$ 平面 $A B C .$

(1)、求证： $A^{'} O ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求二面角 $A^{'} - B B^{'} - C^{'}$ 的余弦值.

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22. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为P ，右顶点为Q ，直线PQ与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{4}{5}$ 相切于点 $M (\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若不经过点P的直线 $l$ 与椭圆C交于A ， B两点，且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ ＝0，求证：直线l过定点.

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	轿车A	轿车B	轿车C
舒适型	100	150	z
标准型	300	450	600