重庆市两江新区2021年数学中考适应性测试试卷

试卷更新日期：2021-06-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如图，该几何体由四个大小相同的正方体组成，该几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，点O为位似中心，已知 $O A ： O D = 1 ： 3 ， △ A B C$ 的面积为2，则 $△ D E F$ 的面积为（）

A、3 B、6 C、9 D、18

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3. 已知 $a + 2 b = 2$ ，则 $5 - 2 a - 4 b =$ （）

A、1 B、3 C、7 D、9

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4. 下列图形是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中图①中有1个圆，图②中有4个圆，图③中有9个圆，……，则第7个图形中圆的个数是（）

A、28个 B、36个 C、49个 D、64个

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5. 下列命题中是真命题的是（）

A、三角形的外心到三角形三边的距离相等 B、三角形的一个内角的角平分线把三角形分成面积相等的两部分 C、等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一 D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 是直径， $C D$ 是弦， $A B ⊥ C D$ 于点E，且 $∠ A O D = 62 °$ ，则 $∠ A B C =$ （）

A、 $32 °$ B、 $31 °$ C、 $30 °$ D、 $28 °$

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7. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其 $\frac{2}{3}$ 的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x + \frac{1}{2} y = 50 \\ \frac{2}{3} x + y = 50 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + \frac{2}{3} y = 50 \\ \frac{1}{2} x + y = 50 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 50 \\ \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} y = 50 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} y = 50 \\ \frac{2}{3} x = 50 \end{array}$

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8. 放学后，小明与小强同时从学校出发匀速步行回家，小明家、学校、超市、小强家依次在同一条笔直的马路上.在回家的途中小强去超市买水果，随后继续保持原速前行，最终小强比小明晚4分钟到家.小明与小强之间的距离y（米）与小强出发的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示.则下列说法：① $O A / / B C$ ；②小强在超市停留了2分钟；③小强家距离学校1470米；④点D的坐标为 $(21 ， 2350)$ .其中结论正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 小李同学想测量广场科技楼 $C D$ 的高度，他先在科技楼正对面的智慧楼 $A B$ 的楼顶A点测得科技楼楼顶C点的仰角为 $45 °$ ，再在智慧楼的楼底B点测得科技楼楼顶C点的仰角为 $61 °$ ，然后从楼底B点经过4米长的平台 $B F$ 到达楼梯F点，沿着坡度为 $i = 1 ： 2.4$ 的楼梯向下到达楼梯底部E点，最后沿水平方向步行20米到达科技楼楼底D点（点 $A ， B ， C ， D ， E ， F$ 在同一平面内，智慧楼 $A B$ 和科技楼 $C D$ 与水平方向垂直）.已知智慧楼 $A B$ 的高为24米，则科技楼 $C D$ 的高约为（）米（结果精确到0.1，参考数据： $\sin 61 ° \approx 0.87 ， \cos 61 ° \approx 0.48 ， \tan 61 ° \approx 1.80$ ）

A、54.0 B、56.4 C、56.5 D、56.6

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10. 若实数a使关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x + 1 \geq 2 (x - 3) \\ \frac{x - a}{3} < 2 \end{array}$ 至少有3个整数解，且使关于y的分式方程 $\frac{4 y}{y - 3} + \frac{y - a}{3 - y} = 1$ 有正整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）

A、-7 B、-12 C、-21 D、-23

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11. 如图，点 $B ， C$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 上，连接 $B C$ 分别交 $x ， y$ 轴于点D、点E，且 $A C ⊥ O A$ ，将 $△ D O C$ 沿 $O C$ 翻折，点D刚好落在y轴上的点F处， $C F$ 与x轴交于点G，已知 $A C ： O F = 1 ： 2 ， S_{△ D O B} = 2$ ，则k的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

12. 轨道交通在公共交通体系中的骨干地位日益凸显，重庆轨道交通每天最高客流量已达3870000乘次，请把数3870000用科学记数法表示为.

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13. 计算： ${(- 2)}^{- 2} + \sin 30 ° =$ .

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14. 现有四张正面分别标有数字 $- 4, - 1, 1, 3$ 的卡片，它们除数字不同外，其余完全相同，将卡片背面朝上洗匀后，从中随机取出一张，再从剩下的卡片中随机取出一张，则两次取出的卡片上的数字之和为负数的概率为.

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15. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $B C = 4$ ，以 $B C$ 为直径画半圆，交 $A B$ 于点D，交 $A C$ 于点E，则图中阴影部分的面积为（结果保留 $π$ ）.

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = \sqrt{3} ， A C = 2$ .点D为 $B C$ 边上一点，将 $△ A D B$ 沿 $A D$ 翻折得到 $△ A D B^{'} ， D B^{'}$ 交 $A C$ 于点E.已知 $A C$ 平分 $∠ D A B^{'}$ ，则 $\frac{B^{'} E}{D E} =$ .

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17. 经历了漫长艰难的体训，初三学子即将迎来中考体考，初三某班的家长为孩子们准备了脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液.已知脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的单价之和为22元，计划购买脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的数量总共不超过200，其中葡萄糖口服液的单价为10元，计划购买50支.脉动饮料的数量不多于士力架数量的一半，但至少购买30瓶.在做预算时，将脉动饮料和士力架的单价弄反了，结果在实际购买时，总费用比预算多了160元.若脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的单价均为整数，则实际购买脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的总费用最多需要花费元.

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三、解答题

18. 计算：

(1)、 ${(x - 2 y)}^{2} + x (x + 4 y)$ ；

(2)、 $(a + \frac{3 a - 4}{a - 3}) \div \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a - 3}$ .

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19. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 是对角线.

(1)、尺规作图：过点A作 $B C$ 的垂线交 $B C$ 于点E（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；

(2)、在（1）的条件下，若 $B C = 5 ， ∠ B = 45 ° ， \tan ∠ A C B = \frac{3}{2}$ ，求平行四边形 $A B C D$ 的面积.

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20. 4月，某校初2021级800名学生进行了一次政治测试（满分：50分）.测试完成后，在甲乙两班各抽取了20名学生的测试成绩，对数据进行整理分析，并给出了下列信息：
甲班20名同学的测试成绩统计如下：

$41 ， 47 ， 43 ， 45 ， 50 ， 49 ， 48 ， 50 ， 50 ， 49$ ，

$48 ， 47 ， 44 ， 50 ， 43 ， 50 ， 50 ， 50 ， 49 ， 47$ .

乙班20名同学的测试成绩统计如下：

组别

$40 < x \leq 42$

$42 < x \leq 44$

$44 < x \leq 46$

$46 < x \leq 48$

$48 < x \leq 50$

频数

1

1

a

6

9

其中，乙班20名同学的测试成绩高于46，但不超过48分的成绩如下：

$47 ， 48 ， 48 ， 47 ， 48， 48$ .

甲乙两班抽取的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示：

班级

平均数

中位数

众数

甲班

47.5

48.5

c

乙班

47.5

b

49

(1)、根据以上信息可以求出： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、你认为甲乙两个班哪个班的学生政治测试成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）；

(3)、若规定49分及以上为优秀，请估计该校初2021级参加此次测试的学生中优秀的学生有多少人？

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21. 某数学学习小组根据以往学习函数的经验，研究函数

y = \frac{12}{x^{2} + 2 x + 4}

的图象和性质.列表如下：

x	…	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	…
y	…	$\frac{12}{19}$	1	$\frac{12}{7}$	m	4	3	n	1	$\frac{12}{19}$	…

(1)、直接写出

m ， n

的值：

m =

，

n =

；

(2)、请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并写出该函数的一条性质： ▲ ；

(3)、已知函数

y = | x + 1 |

的图象如图所示，请结合图象，直接写出方程

| x + 1 | = \frac{12}{x^{2} + 2 x + 4}

的解（精确到0.1，误差不超过0.2）.

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22. 运动鞋是根据人们参加运动或旅游的特点设计制造的鞋子，它的鞋底和普通的皮鞋、胶鞋不同，一般都是柔软而富有弹性的，能起一定的缓冲作用，运动时可增强弹性，防止脚踝受伤，所以在进行体育运动时，大家都喜欢穿运动鞋.某商店有 $A, B$ 两种运动鞋，A种运动鞋每双150元，B种运动鞋每双180元，4月最后一周销售 $A, B$ 两种运动鞋共50双，总销售额为8100元.

(1)、4月最后一周售出A种运动鞋多少双？

(2)、五一小长假，该商店为吸引更多顾客，对 $A, B$ 两种运动鞋进行促销.A种运动鞋的价格在4月最后一周的基础上优惠了 $\frac{1}{5} a %, B$ 种运动鞋的价格不变.小长假期间，顾客明显增多，结果5月第一周A种运动鞋售出的数量在4月最后一周的基础上增加了 $\frac{2}{5} a %, B$ 种运动鞋售出的数量在4月最后一周的基础上增加了 $\frac{3}{10} a %$ ，总销售额在4月最后一周的基础上增加了 $\frac{2}{9} a %$ ，求a的值.

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23. 阅读理解：对于任意一个四位数，若千位数字与十位数字均为奇数，百位数字与个位数字均为偶数，则称这个四位数为“均衡数”.将一个“均衡数”的千位数字与十位数字组成一个新的两位数m，原来千位数字作为m的十位数字；将一个“均衡数”的百位数字与个位数字组成另一个新的两位数n，原来百位数字作为n的十位数字.例如：“均衡数”3812，则 $m = 31 ， n = 82$ .若 $m ， n$ 各个数位上的数字都不为零且十位数字大于个位数字，则将m中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，n中的任意一个数字作为这个新的两位数的个位数字，按这个方式产生的所有新的两位数的和记为 $F (m ， n)$ .例如： $m = 31 ， n = 82$ 时， $F (31 ， 82) = 38 + 32 + 18 + 12 = 100$ .

(1)、3456（填“是”或“不是”）“均衡数”，最小的“均衡数”为；

(2)、若 $F (m ， n)$ 是一个完全平方数，请求出所有满足条件的“均衡数”.

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 交x轴于 $A ， B$ 两点，交y轴于点C.其中点 $A (- 1 ， 0) ， B (3 ， 0) ， C (0 ， - 3)$ ，连接 $A C ， B C$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，在抛物线上 $B ， C$ 两点间有一动点P（点P不与 $B ， C$ 两点重合），过点P作 $A C$ 的平行线，交 $B C$ 于点G，求 $P G$ 的最大值及此时点P的坐标；

(3)、如图2，将抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 沿射线 $C B$ 方向平移 $\sqrt{2}$ 个单位长度得到新抛物线 $y^{'}$ ，点M为新抛物线对称轴上的一动点，点N为平面内的任意一点，是否存在点N使得以 $A ， C ， M ， N$ 为顶点的四边形是以 $A C$ 为边的菱形，若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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25. 如图， $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 ° ， A C = B C ， D C = E C$ .现将 $△ D C E$ 绕点C旋转.

(1)、如图1，若 $A ， D ， E$ 三点共线， $A D = \sqrt{5}$ ，求点B到直线 $C E$ 的距离；

(2)、如图2，连接 $A E ， B D$ ，点F为线段 $B D$ 的中点，连接 $C F$ ，求证： $A E ⊥ C F$ ；

(3)、如图3，若点G在线段 $A B$ 上，且 $A C = 8 ， A G = 7 \sqrt{2}$ ，在 $△ A C G$ 内部有一点O，请直接写出 $\frac{\sqrt{2}}{2} O C + \sqrt{2} O A + \frac{\sqrt{10}}{2} O G$ 的最小值.

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组别	$40 < x \leq 42$	$42 < x \leq 44$	$44 < x \leq 46$	$46 < x \leq 48$	$48 < x \leq 50$
频数	1	1	a	6	9

班级	平均数	中位数	众数
甲班	47.5	48.5	c
乙班	47.5	b	49