重庆市2021年中考数学试卷（B卷）

试卷更新日期：2021-06-17 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- 3$ 相反数是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- 3$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、3

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2. 不等式 $x > 5$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 计算 $x^{4} \div x$ 结果正确的是（）

A、 $x^{4}$ B、 $x^{3}$ C、 $x^{2}$ D、 $x$

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4. 如图，在平面直角坐标系中，将 $△ O A B$ 以原点O为位似中心放大后得到 $△ O C D$ ，若 $B (0 ， 1)$ ， $D (0 ， 3)$ ，则 $△ O A B$ 与 $△ O C D$ 的相似比是（）

A、2：1 B、1：2 C、3：1 D、1：3

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5. 如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若 $∠ A = 20 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、70° B、90° C、40° D、60°

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6. 下列计算中，正确的是（）

A、 $5 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} = 21$ B、 $2 + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{6} = 3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{15} \div \sqrt{5} = 3$

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7. 小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家.如图，反映了小明离家的距离y（单位：km）与时间t（单位：h）之间的对应关系.下列描述错误的是（）

A、小明家距图书馆3km B、小明在图书馆阅读时间为2h C、小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h D、小明去图书馆的速度比回家时的速度快

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8. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D C B$ 中， $∠ A C B = ∠ D B C$ ，添加一个条件，不能证明 $△ A B C$ 和 $△ D C B$ 全等的是（）

A、 $∠ A B C = ∠ D C B$ B、 $A B = D C$ C、 $A C = D B$ D、 $∠ A = ∠ D$

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9. 如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中， $∠ P M N = 30 °$ ，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则 $∠ A M P$ 的度数为（）

A、60° B、65° C、75° D、80°

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10. 如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为 $i = 1 ： 2.4$ ，坡顶D到BC的垂直距离 $D E = 50$ 米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据： $\sin 50 ° \approx 0.77$ ； $\cos 50 ° \approx 0.64$ ； $\tan 50 ° \approx 1.19$ ）

A、69.2米 B、73.1米 C、80.0米 D、85.7米

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11. 关于x的分式方程 $\frac{a x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3 x - 1}{2 - x}$ 的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{3 y - 2}{2} \leq y - 1 \\ y + 2 > a \end{array}$ 有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）

A、 $- 5$ B、 $- 4$ C、 $- 3$ D、 $- 2$

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12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF.若点E为AC的中点， $△ A E F$ 的面积为1，则k的值为（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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二、填空题

13. 计算： $\sqrt{9} - {(π - 1)}^{0} =$ .

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14. 不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是.

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15. 方程 $2 (x - 3) = 6$ 的解是.

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16. 如图，在菱形ABCD中，对角线 $A C = 12$ ， $B D = 16$ ，分别以点A，B，C，D为圆心， $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为.（结果保留 $π$ ）

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17. 如图， $△ A B C$ 中，点D为边BC的中点，连接AD，将 $△ A D C$ 沿直线AD翻折至 $△ A B C$ 所在平面内，得 $△ A D C^{'}$ ，连接 $C C^{'}$ ，分别与边AB交于点E，与AD交于点O.若 $A E = B E$ ， $B C^{'} = 2$ ，则AD的长为.

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18. 盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径.某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱.经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为元.

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 $a (2 a + 3 b) + {(a - b)}^{2}$ ；

(2)、 $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 2 x + 1} \div (x + \frac{3 - x^{2}}{x + 1})$ .

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20. 2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）.相关数据统计、整理如下：

抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）

6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10.

八年级教师竞赛成绩扇形统计图

七，八年级教师竞赛成绩统计表

年级	七年级	八年级
平均数	8.5	8.5
中位数	a	9
众数	8	b
优秀率	45%	55%

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空：

a =

，

b =

；

(2)、估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；

(3)、根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异.

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21. 如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且 $A C = 2 A B$ .请用尺规完成基本作图：作出 $∠ B A C$ 的角平分线与BC交于点E.连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想.（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

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22. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.以下是我们研究函数

y = x + | - 2 x + 6 | + m

性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题.

x	…	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	…
y	…	6	5	4	a	2	1	b	7	…

(1)、写出函数关系式中m及表格中a，b的值：

m =

，

a =

，

b =

；

(2)、根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：；

(3)、已知函数

y = \frac{16}{x}

的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式

x + | - 2 x + 6 | + m > \frac{16}{x}

的解集.

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23. 重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎.某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）.已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元.

(1)、求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？

(2)、该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低 $\frac{3}{4} a %$ .统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加 $\frac{5}{2} a %$ ，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加 $\frac{5}{11} a %$ .求a的值.

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24. 对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如： $m = 3507$ ，因为 $3 + 7 = 2 \times (5 + 0)$ ，所以3507是“共生数”： $m = 4135$ ，因为 $4 + 5 \neq 2 \times (1 + 3)$ ，所以4135不是“共生数”；

(1)、判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；

(2)、对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记 $F (n) = \frac{n}{3}$ .求满足 $F (n)$ 各数位上的数字之和是偶数的所有n.

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25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4 (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与y轴交于点C.

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求 $△ P A D$ 面积的最大值；

(3)、在（2）的条件下，将抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4 (a \neq 0)$ 沿射线AD平移 $4 \sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_{1}$ ，点E为点P的对应点，点F为 $y_{1}$ 的对称轴上任意一点，在 $y_{1}$ 上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程.

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26. 在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $B D ⊥ A C$ ，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF.

(1)、将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG.
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；

②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证： $B E + B H = \sqrt{3} B F$ ；

(2)、如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且 $D N = 2 N C$ ，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当 $N P + \frac{1}{2} M P$ 最小时，直接写出 $△ D P N$ 的面积.

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