四川省遂宁市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-17 类型：中考真卷

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一、单选题

1. －2021的绝对值是（）

A、－2021 B、2021 C、 $- \frac{1}{2021}$ D、 $\frac{1}{2021}$

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2. 下列计算中，正确的是（　　）

A、 ${(a + 3)}^{2} = a^{2} + 9$ B、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$ C、 $2 (a - b) = 2 a - b$ D、 $a^{2} + a^{2} = 2 a^{2}$

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3. 如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 国家统计局2021年5月11日公布了第七次全国人口普查结果，全国总人口约14.1亿人，将14.1亿用科学记数法表示为（）

A、14.1×10⁸ B、1.41×10⁸ C、1.41×10⁹ D、0.141×10¹⁰

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5. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm² ，则四边形BDEC的面积为（）

A、12cm² B、9cm² C、6cm² D、3cm²

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6. 下列说法正确的是（　　）

A、角平分线上的点到角两边的距离相等 B、平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C、在代数式 $\frac{1}{a}$ ， $2 x$ ， $\frac{x}{π}$ ， $985$ ， $\frac{4}{a} + 2 b$ ， $\frac{1}{3} + y$ 中， $\frac{1}{a}$ ， $\frac{x}{π}$ ， $\frac{4}{a} + 2 b$ 是分式 D、若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4

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7. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 - x > 0 \\ \frac{x - 1}{2} \geq - 1 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（）

A、1 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{3}$

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9. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为 $4 \sqrt{3}$ ，∠CDF=15°，则阴影部分的面积为（）

A、 $16 π - 12 \sqrt{3}$ B、 $16 π - 24 \sqrt{3}$ C、 $20 π - 12 \sqrt{3}$ D、 $20 π - 24 \sqrt{3}$

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，有下列5个结论：① $a b c > 0$ ；② $b^{2} < 4 a c$ ；③ $2 c < 3 b$ ；④ $a + 2 b > m (a m + b)$ （ $m \neq 1$ ）；⑤若方程 $| a x^{2} + b x + c |$ ＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

11. 若 $| a - 2 | + \sqrt{a + b} = 0$ ，则 $a^{b} =$ .

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12. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是.

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13. 已知关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 5 a \\ x + 4 y = 2 a + 3 \end{array}$ 满足 $x - y > 0$ ，则a的取值范围是.

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14. 如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第个图形共有210个小球.

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15. 如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：① $∠ A B F = ∠ D B E$ ；② $△ A B F ∽ △ D B E$ ；③ $A F ⊥ B D$ ；④ $2 B G^{2} = B H \cdot B D$ ；⑤若 $C E ： D E = 1 ： 3$ ，则 $B H ： D H = 17 ： 16$ ，你认为其中正确是（填写序号）

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三、解答题

16. 计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} + \tan 60 ° - | 2 - \sqrt{3} | + {(π - 3)}^{0} - \sqrt{12}$

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17. 先化简，再求值： $\frac{m^{3} - 2 m^{2}}{m^{2} - 4 m + 4} \div (\frac{9}{m - 3} + m + 3)$ ，其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数.

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18. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F.

(1)、求证：AE＝CF；

(2)、请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由.

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19. 我市于2021年5月22－23日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加.现对某校初中1000名学生就“比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：

类别	频数	频率
不了解	10	m
了解很少	16	0.32
基本了解	b
很了解	4	n
合计	a	1

(1)、根据以上信息可知：a＝， b＝， m＝， n＝；

(2)、补全条形统计图；

(3)、估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有人；

(4)、“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同.

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20. 已知平面直角坐标系中，点P（ $x_{0} ， y_{0}$ ）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离d可用公式 $d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ 来计算.
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为： $d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = \frac{| 2 \times 1 + （ - 1 ） \times 2 + 1 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

根据以上材料，解答下列问题：

(1)、求点M（0，3）到直线 $y = \sqrt{3} x + 9$ 的距离；

(2)、在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线 $y = \sqrt{3} x + 9$ 的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由.

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21. 某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元.

(1)、服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？

(2)、当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？

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22. 小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向， C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向.

(1)、求∠C的度数；

(2)、求两颗银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）.

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23. 如图，一次函数 $y_{1}$ ＝k x ＋ b （k≠0）与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x}$ （m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（－2，a），与y轴交于点M.

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；

(3)、将直线 $y_{1}$ 向下平移2个单位后得到直线y₃ ，当函数值 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ 时，求x的取值范围.

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24. 如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°.

(1)、求证：直线AC是⊙O的切线；

(2)、求△ABC的面积；

(3)、点E在 $\overset{⌢}{B N D}$ 上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F.
①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；

②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长.

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25. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线 $x = - 1$ ，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F.

(1)、求抛物线的解析式和m的值；

(2)、在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；

(3)、直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）.

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