四川省乐山市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-17 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作 $+ 2$ 元，支出5元记作（）.

A、5元 B、 $- 5$ 元 C、 $- 3$ 元 D、7元

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2. 在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（）.

类型

健康

亚健康

不健康

数据（人）

32

7

1

A、32 B、7 C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 某种商品m千克的售价为n元，那么这种商品8千克的售价为（）

A、 $\frac{8 n}{m}$ （元） B、 $\frac{n}{8 m}$ （元） C、 $\frac{8 m}{n}$ （元） D、 $\frac{m}{8 n}$ （元）

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4. 如图，已知直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 、 $l_{3}$ 两两相交，且 $l_{1} ⊥ l_{3}$ .若 $α = 50 °$ ，则 $β$ 的度数为（）

A、 $120 °$ B、 $130 °$ C、 $140 °$ D、 $150 °$

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5. 如图，已知直线 $l_{1} ： y = - 2 x + 4$ 与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将 $△ A O B$ 的面积平分的直线 $l_{2}$ 的解析式为（）

A、 $y = \frac{1}{2} x$ B、 $y = x$ C、 $y = \frac{3}{2} x$ D、 $y = 2 x$

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6. 如图是由4个相同的小正方体成的物体，将它在水平面内顺时针旋转90°后，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示.19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆成的“叶问蹬”图.则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（）

A、3 B、 $\frac{7}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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8. 如图，已知点P是菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 延长线上一点，过点P分别作 $A D$ 、 $D C$ 延长线的垂线，垂足分别为点E、F.若 $∠ A B C = 120 °$ ， $A B = 2$ ，则 $P E - P F$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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9. 如图，已知 $O A = 6$ ， $O B = 8$ ， $B C = 2$ ， $⊙ P$ 与 $O B$ 、 $A B$ 均相切，点P是线段 $A C$ 与抛物线 $y = a x^{2}$ 的交点，则a的值为（）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、5

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10. 如图，直线 $l_{1}$ 与反比例函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ 的图象相交于A、B两点，线段 $A B$ 的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D.直线 $l_{2}$ 过原点O和点C.若直线 $l_{2}$ 上存在点 $P (m ， n)$ ，满足 $∠ A P B = ∠ A D B$ ，则 $m + n$ 的值为（）

A、 $3 - \sqrt{5}$ B、3或 $\frac{3}{2}$ C、 $3 + \sqrt{5}$ 或 $3 - \sqrt{5}$ D、3

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二、填空题

11. 计算： ${(2021 - π)}^{0} =$ .

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12. 因式分解： $4 a^{2} - 9 =$ .

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13. 如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图.你认为谁的成绩较为稳？（填“甲”或“乙”）

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14. 如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为 $30 °$ ，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石顶A点的仰角为 $60 °$ ，那么石碑的高度 $A B$ 的长 $=$ 米.（结果保留根号）

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15. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ .有一个锐角为 $60 °$ ， $A B = 4$ .若点P在直线 $A B$ 上（不与点A、B重合），且 $∠ P C B = 30 °$ ，则 $C P$ 的长为.

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16. 如图，已知点 $A (4 ， 3)$ ，点B为直线 $y = - 2$ 上的一动点，点 $C (0 ， n)$ ， $- 2 < n < 3$ ， $A C ⊥ B C$ 于点C，连接 $A B$ .若直线 $A B$ 与 $x$ 正半轴所夹的锐角为 $α$ ，那么当 $\sin α$ 的值最大时，n的值为.

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三、解答题

17. 当 $x$ 取何正整数时，代数式 $\frac{x + 3}{2}$ 与 $\frac{2 x - 1}{3}$ 的值的差大于1

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18. 如图，已知 $A B = D C$ ， $∠ A = ∠ D$ ， $A C$ 与 $D B$ 相交于点O，求证： $∠ O B C = ∠ O C B$ .

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19. 已知 $\frac{A}{x - 1} - \frac{B}{2 - x} = \frac{2 x - 6}{(x - 1) (x - 2)}$ ，求A、B的值.

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + x - m = 0$ .

(1)、若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

(2)、二次函数 $x \in (\frac{1}{e^{2}} ， \frac{1}{a})$ 的部分图象如图所示，求一元二次方程 $x^{2} + x - m = 0$ 的解.

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21. 某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬.学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动.张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图.

(1)、求这组数据的平均数和众数；

(2)、经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都到出零花钱的20%，其余学生不参加捐款.请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？

(3)、捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率.

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22. 如图，直线l分别交x轴，y轴于A、B两点，交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象于P、Q两点.若 $A B = 2 B P$ ，且 $△ A O B$ 的面积为4

(1)、求k的值；

(2)、当点P的横坐标为 $- 1$ 时，求 $△ P O Q$ 的面积.

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23. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当 $0 \leq x < 10$ 和 $10 \leq x < 20$ 时，图象是线段；当 $20 \leq x \leq 45$ 时，图象是反比例函数的一部分.

(1)、求点A对应的指标值；

(2)、张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由.

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24. 如图，已知点C是以 $A B$ 为直径的圆上一点，D是 $A B$ 延长线上一点，过点D作 $B D$ 的垂线交 $A C$ 的延长线于点E，连结 $C D$ ，且 $C D = E D$ .

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\tan ∠ D C E = 2$ ， $B D = 1$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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25. 在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D是 $B C$ 边上一点（不与点B、C重合），连结 $A D$ .

(1)、如图1，若 $∠ C = 60 °$ ，点D关于直线 $A B$ 的对称点为点E，结 $A E$ ， $D E$ ，则 $∠ B D E =$ ；

(2)、若 $∠ C = 60 °$ ，将线段 $A D$ 绕点A顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A E$ ，连结 $B E$ .
①在图2中补全图形；

②探究 $C D$ 与 $B E$ 的数量关系，并证明；

(3)、如图3，若 $\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D E} = k$ ，且 $∠ A D E = ∠ C$ ，试探究 $B E$ 、 $B D$ 、 $A C$ 之间满足的数量关系，并证明.

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26. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象开口向上，且经过点 $A (0 ， \frac{3}{2})$ ， $B (2 ， - \frac{1}{2})$ .

(1)、求b的值（用含a的代数式表示）；

(2)、若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 在 $1 \leq x \leq 3$ 时，y的最大值为1，求a的值；

(3)、将线段 $A B$ 向右平移2个单位得到线段 $A^{'} B^{'}$ .若线段 $A^{'} B^{'}$ 与抛物线 $y = a x^{2} + b x + c + 4 a - 1$ 仅有一个交点，求a的取值范围.

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类型	健康	亚健康	不健康
数据（人）	32	7	1