浙江省宁波市江北区2021年数学中考模拟试卷

试卷更新日期：2021-06-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在－2， $π$ ，0， $\frac{1}{3}$ 这四个数中，最大的数是（）

A、－2 B、 $π$ C、0 D、 $\frac{1}{3}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $x^{2} + x^{2} = 2 x^{4}$ B、 $x^{6} \div x^{2} = x^{3}$ C、 $x \cdot x^{3} = x^{4}$ D、 ${(x^{2})}^{3} = x^{5}$

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3. 接种疫苗是防控新冠疫情最有效的手段，截至2021年3月23日，我国各地累计报告接种新冠病毒疫苗8284.6万剂次，这也是人类疫苗接种史上首次启动日报制度.其中8284.6万用科学记数法可表示为（）

A、 $828.46 \times 10^{5}$ B、 $82.846 \times 10^{6}$ C、 $8.2846 \times 10^{7}$ D、 $0.82846 \times 10^{8}$

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4. 不等式组 ${\begin{matrix} x \geq - 1 \\ x < 2 \end{matrix}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图所示的几何体是由4个大小相同的小正方体搭成，其左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 能说明命题“对于任意实数 $a$ ， $| a | > - a$ ”是假命题的一个反例可以是（）

A、 $a = - 2$ B、 $a = \frac{1}{3}$ C、 $a = \sqrt{2}$ D、 $a = 2$

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7. 从一盒写有“鲜肉3只、蛋黄2只、豆沙2只、排骨3只”的端午粽子（所有粽子的形状大小都一样）礼盒中，随机取出一只粽子，正好是蛋黄粽子的概率是（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在⊙O上， $A B // O C$ ， $∠ A = 70 °$ ，则 $∠ B$ 的度数是（）

A、110° B、125° C、135° D、165°

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9. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ， $A B = 2$ .动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位的速度沿折线 $A D \to D C$ 运动到点 $C$ ，同时动点 $Q$ 也从点 $A$ 出发，以每秒 $\sqrt{3}$ 个单位的速度沿 $A C$ 运动到点 $C$ ，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止.设 $△ A P Q$ 的面积为 $y$ ，运动时间为 $x$ 秒，则下列图象能大致反映 $y$ 与 $x$ 之间函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，矩形 $A B C D$ $(A D > A B)$ ，分别以 $A D$ 、 $B C$ 为边向内作等边三角形（图1）；分别以 $A B$ 、 $C D$ 为边向内作等边三角形（图2），两个等边三角形的重叠部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为 $S_{1}$ ，图2中阴影部分的面积为 $S_{2}$ .若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 8$ ，则 $\frac{A D}{A B}$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{4} \sqrt{3}$ C、 $\frac{4}{5} \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题

11. -3的绝对值等于。

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12. 二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 中字母x的取值范围是．

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13. 将二次函数 $y = x^{2}$ 的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式为.

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14. 已知一组数据1， $x$ ，5， $y$ ，8，10的平均数是6，众数是5，则这组数据的中位数是.

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15. 如图，⊙O的半径为1，弦 $A B = \sqrt{2}$ ， $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B C}$ ，点 $P$ 为劣弧 $A C$ 上一个动点，延长 $B P$ 至点 $Q$ ，使 $B P \cdot B Q = A B^{2}$ ，当点 $P$ 由点 $A$ 运动到点 $C$ 时，点 $Q$ 的运动路径长为.

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16. 如图，直线 $A B$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $(k > 0)$ 的图象交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $x$ 轴交于点 $F$ ， $A C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ， $B D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，点 $E$ 是线段 $A B$ 的中点，连结 $C E$ 、 $D E$ ，已知 $△ A E C$ 的面积是 $△ A E D$ 面积的2倍，且 $S_{△ D E F} = \frac{1}{k}$ ，则 $k$ 的值是.

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三、解答题

17.

(1)、计算： $| - 2 | + 2 \sin 30 ° - {(\frac{1}{3})}^{- 1}$

(2)、化简： $\frac{4 x}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x - 2}$ .
小江的解答如下： $\frac{4 x}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x - 2}$

$= 4 x - 2 (x + 2)$ ①

$= 4 x - 2 x - 4$ ②

$= 2 x - 4$ ③

小江的解答过程从第步（填“①”或“②”或“③”）开始出错，请你写出正确的解答过程.

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18. 如图，在 $6 \times 6$ 的网格中已经涂黑了三个小正方形，请按下列要求画图.

(1)、在图1中涂黑一块小正方形，使涂黑的四个小正方形组成一个轴对称图形.

(2)、在图2中涂黑一块小正方形，使涂黑的四个小正方形组成一个中心对称图形.

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19. 某校春日郊游就“最想去的宁波市江北区旅游景点”，随机调查了本校2000名学生中的部分学生，提供四个景点选择：A.达人村；B.慈城古镇；C.保国寺；D.荪湖.要求每位学生选择一个最想去的景点.下面是根据调查结果进行数据整理后绘制的统计图.

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次一共随机调查了学生名.

(2)、请补全条形统计图.

(3)、请估计全校“最想去景点D（荪湖）”的学生人数.

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20. 如图，已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (4 ， 5)$ 与点 $B (0 ， - 3)$ ，且与 $x$ 轴交于点 $C$ 、 $D$ .

(1)、求该二次函数的表达式，以及与 $x$ 轴的交点坐标.

(2)、若点 $Q (m ， n)$ 在该二次函数图象上，
①求 $n$ 的最小值；

②若点 $Q$ 到 $x$ 轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出 $m$ 的取值范围.

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21. 如图，机器上使用的螺丝钉，它上面的螺纹以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进.一颗底面为圆且直径为6毫米的螺丝钉，如果螺纹的初始角 $∠ C A B$ 为4°，那么每转一圈向前推进的距离 $(B C)$ 约为多少毫米？（参考数据： $\sin 4 ° \approx 0.070$ ， $\cos 4 ° \approx 0.998$ ， $\tan 4 ° \approx 0.070$ ，结果精确到0.01毫米）

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22. 周末傍晚，小北从家出发步行去电影院看电影，出发一段时间后，妈妈发现小北忘了带口罩，于是骑上自行车沿小北行进的路线去追赶，在小北到达电影院之前，妈妈追上小北，然后立即沿原路返程回家，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只有原来的 $\frac{2}{3}$ ，小北继续以原速度步行前往并到达电影院.妈妈与小北之间的距离 $y$ （米）与小北从家出发后步行的时间 $x$ （分）之间的关系如图所示（假设小北步行与妈妈骑车的过程均视为匀速，妈妈将口罩交给小北耽搁的时间忽略不计）.

(1)、求小北的步行速度；妈妈追赶小北时的速度.

(2)、求出图中点 $A$ 的坐标，并描述说明其表达的实际意义.

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23. 图1，点 $P$ 是 $△ A B C$ 内的一点，连结 $P B$ 、 $P C$ ， $∠ 1 ＝ ∠ 2$ ，将 $∠ C P B$ 绕点 $P$ 顺时针旋转得 $∠ E P D$ ，射线 $P E$ 交线段 $B C$ 于点 $E$ ，射线 $P D$ 交线段 $A B$ 于点 $D$ .

(1)、求证： $△ P D B ∽ △ P E C$ .

(2)、如图2，若 $B P = P C$ ，且 $B C = 8$ ， $\tan ∠ A B P = \frac{3}{4}$ ，求四边形 $D P E B$ 周长的最小值.

(3)、如图3，若 $△ A B C$ 为等边三角形， $A B = 7$ ， $\frac{P D}{P E} = 2$ ，求 $P E$ 与 $△ A B C$ 的一边平行时 $A D$ 的长.

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24. 定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形.如图1，在 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 中，若 $∠ A + ∠ E = ∠ B + ∠ D = 90 °$ ，且 $A B = D E$ ，则 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 是余等三角形.

(1)、如图2，等腰直角 $△ A B C$ ，其中 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $D$ 是 $A B$ 上任意一点（不与点 $A$ 、 $B$ 重合），则图中 $△$ ▲ 和 ▲ 是余等三角形，并求证： $A D^{2} + B D^{2} = 2 C D^{2}$ .

(2)、如图3，四边形 $A B C D$ 是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，且 $A D^{2} + B C^{2} = 100$ ，
①求证： $△ A B C$ 和 $△ A D C$ 是余等三角形.

②图4，连结 $B D$ 交 $A C$ 于点 $I$ ，连结 $O I$ ， $E$ 为 $A I$ 上一点，连结 $E O$ 并延长交 $B I$ 于点 $F$ ，若 $∠ A D B = 67.5 °$ ， $I E = I F$ ，设 $O I = x$ ， $S_{△ E I F} = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式.

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