四川省资阳市雁江区2021年初中学业水平考试及适应性检测数学试卷

试卷更新日期：2021-06-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. ﹣3的绝对值是（）

A、﹣3 B、3 C、- $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 小明为今年将要参加中考的好友小李制作了一个（如图）正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知某种冠状病毒的直径长约125纳米，1纳米＝10^﹣9米，那么这种冠状病毒的直径用科学记数法可表示为（）

A、125×10^﹣9米 B、1.25×10^﹣6米 C、1.25×10^﹣7米 D、1.25×10^﹣8米

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4. 如图， $a / / b$ ，一块含45°角的直角三角板如图放置， $∠ 1 = 83^{°}$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、17° B、27° C、38° D、43°

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $2 x^{2} + 3 x^{3} = 5 x^{5}$ B、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{6}$ C、 ${(2 x^{2})}^{3} = 6 x^{6}$ D、 $x^{3} \div x^{2} = x$

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6. 某天 $7$ 名学生在进入校门时测得体温（单位℃）分别为：36.5 ，36.7 ，36.4 ，36.3，36.4，36.2，36.3，对这组数据描述正确的是（）

A、众数是36.4 B、中位数是36.3 C、平均数是36.4 D、方差是1.9

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7. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有实数根，则实数m的取值范围是（）

A、 $m < 1$ B、 $m \leq 1$ C、 $m > 1$ D、 $m \geq 1$

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8. 如图，在Rt $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $C D$ 为中线，延长 $C B$ 至点E，使 $B E = B C$ ，连结 $D E$ ，F为 $D E$ 中点，连结 $B F$ ．若 $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，则 $B F$ 的长为（　　）

A、2 B、2.5 C、3 D、4

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9. 如图，在扇形纸片 $O A B$ 中， $O A = 10 ， ∠ A O B = 36 ° ， O B$ 在桌面内的直线l上.现将此扇形在直线l上按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当 $O A$ 落在l上时，停止旋转.则点O所经过的路线长为（）

A、 $13 π$ B、 $12 π$ C、 $11 π$ D、 $10 π$

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点和该抛物线与 $y$ 轴的交点在一次函数 $y = k x + 1 (k \neq 0)$ 的图象上，它的对称轴是 $x = 1$ ，有下列四个结论：① $a b c < 0$ ；② $a < - \frac{1}{3}$ ；③ $a = - k$ ；④当 $0 < x < 1$ 时， $a x + b > k$ ，其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

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二、填空题

11. 在函数 $y = \frac{1}{x + 3} + \sqrt{4 - x}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是.

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12. 若方程x²﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α²+β²的值为．

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13. 刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．下图是其中的一个图形，六边形ABCDEF是⊙O的外切正六边形，现随机向该图形掷一枚小针，则针尖落在⊙O内的概率是．（结果不取近似值）．

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14. 若数 $m$ 使关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{3 - 5 x}{2} \leq 9 - x \\ x < m \end{array}$ 至少有3个整数解且所有解都是 $2 x - 5 \leq 1$ 的解，且使关于 $x$ 的分式方程 $\frac{4 x - 2}{x - 1} + \frac{3 m - 1}{1 - x} = 2$ 有整数解.则满足条件的所有整数 $m$ 的和是.

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15. 如图，把炬形 $A B C D$ 沿 $E F$ ， $G H$ 折叠，使点 $B$ ， $C$ 落在 $A D$ 上同一点 $P$ 处， $∠ F P G = 90 °$ ， $△ A^{'} E P$ 的面积是 $8 \sqrt{2}$ ， $△ D^{'} P H$ 的面积是 $4 \sqrt{2}$ ，则矩形 $A B C D$ 的面积等于.

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16. 在滑草过程中，小明发现滑道两边形如两条双曲线.如图，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ …在反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ …在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 1 ， x > 0)$ 的图象上， $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2} ∥ \cdot \cdot \cdot ∥ y$ 轴，已知点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ …的横坐标分别为1，2…，令四边形 $A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}$ 、 $A_{2} B_{2}$ $B_{3} A_{3}$ 、…的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、…，（1）用含 $k$ 的代数式表示 $S_{1} =$ ；（2）若 $S_{19} = 39$ ，则 $k =$ .

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三、解答题

17. 先化简再求值：
$(\frac{3}{x - 1} - x - 1) \div \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，其中x是不等式组 ${\begin{matrix} x - 3 (x - 2) \geq 2 \\ 4 x - 2 < 5 x - 1 \end{matrix}$ 的一个整数解．

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18. 某学校为了解学生“第二课堂“活动的选修情况，对报名参加A.跆拳道，B.声乐，C.足球，D.古典舞这四项选修活动的学生（每人必选且只能选修一项）进行抽样调查.并根据收集的数据绘制了图①和图②两幅不完整的统计图.

根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的学生共有人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是；

(2)、将条形统计图补充完整；

(3)、在被调查选修古典舞的学生中有4名团员，其中有1名男生和3名女生，学校想从这4人中任选2人进行古典舞表演.请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率.

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19. 如图，圆O是 $△ A B C$ 的外接圆，其切线 $A E$ 与直径 $B D$ 的延长线相交于点E，且 $A E = A B$ .

(1)、求 $∠ A C B$ 的度数；

(2)、若 $D E = 2$ ，求圆O的半径.

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20. 由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的华为Mate30手机二月份每台售价比一月份每台售价低500元.如果卖出相同数量的华为Mate30手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元.

(1)、一月份Mate30手机每台售价为多少元？

(2)、为了提高利润，该店计划三月份购进华为Mate40手机销售，已知华为Mate30每台进价为3500元，华为Mate40每台进价为4000元，预计用不少于7.4万元且不多于7.6万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？

(3)、该店计划4月份对华为Mate30的尾货进行销售，决定在二月份售价基础上每售出一台华为Mate30手机再返还顾客现金 $a$ 元，而华为Mate40按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同， $a$ 应取何值？

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21. 如图，双曲线 $y = \frac{4}{x}$ 与直线 $y = \frac{1}{4} x$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $P (a ， b)$ 在双曲线 $y = \frac{4}{x}$ 上，且 $0 < a < 4$ .

(1)、设 $P B$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若 $a = 2$ ，求点 $E$ 的坐标；

(2)、连接 $P A$ 、 $P B$ ，得到 $△ A B P$ ，若 $4 a = b$ ，求 $△ A B P$ 的面积.

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22. 江阴芙蓉大道城市快速路在2020年5月份通车，在安装路灯过程中，工人师傅发现垂直于地面的灯柱OA与灯杆AB相交成一定的角度才能产生光照效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域OC长为8m，从O、C两处测得路灯B的仰角分别为∠BOC和∠BCO，且tan∠BOC＝4，tan∠BCO＝ $\frac{4}{3}$ .

(1)、求路灯B到地面的距离；

(2)、若∠OAB＝120°，求灯柱OA的高度（结果保留根号）.

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23. 如图①，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ C O D = 60 °$ ，点 $E$ 是线段 $C D$ 上一点，连接 $O E$ ，将线段 $O E$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $O F$ ，连接 $D F$ .

(1)、求证： $D F = C E$ ；

(2)、连接 $E F$ 交 $O D$ 于点 $P$ ，求 $D P$ 的最大值；

(3)、如图②，点 $E$ 在射线 $C D$ 上运动，连接 $A F$ ，在点 $E$ 的运动过程中，若 $A F = A B$ ，求 $O F$ 的长.

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24. 图①，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝ $\frac{1}{2}$ x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上.

(1)、求此二次函数的表达式；

(2)、如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；

(3)、如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由.

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