四川省成都市高新区2021年数学中考二诊试卷

试卷更新日期：2021-06-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. ﹣ $\frac{1}{5}$ 的相反数是（）

A、﹣5 B、5 C、﹣ $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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2. 2020年11月24日22时6分，嫦娥五号实现了飞行过程中第一次轨道修正后继续飞向月球.截止当时，嫦娥五号距离地球约160000公里（）

A、 $0.16 \times 10^{6}$ B、 $1.6 \times 10^{5}$ C、 $1.6 \times 10^{4}$ D、 $16 \times 10^{4}$

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3. 抽样调查了某年级30名女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）

号码

33

34

35

36

37

人数

7

9

12

1

1

那么这30名女生所穿鞋子的尺码的中位数、众数分别是（）

A、34，35 B、34.5，35 C、35，35 D、35，37

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4. 某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕到草鱼的频率稳定在0.5附近，则该鱼塘捞到鲢鱼的概率约为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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5. 如图，晚上小明在路灯下沿路从 $A$ 处径直走到 $B$ 处，这一过程中他在地上的影子（）

A、一直都在变短 B、先变短后变长 C、一直都在变长 D、先变长后变短

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6. 已知点 $P (1 ， y_{1}) ， Q (2 ， y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 图象上的两点，则（）

A、 $y_{1} < y_{2} < 0$ B、 $y_{2} < y_{1} < 0$ C、 $0 < y_{1} < y_{2}$ D、 $0 < y_{2} < y_{1}$

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7. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作 $D F ⊥ D E$ 交BC的延长线于点F，连结 $E F .$ 若 $A E = 1$ ，则EF的值为 $($ $)$

A、3 B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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9. 如图，AB为⊙O的直径，点C，D在圆上，若∠D＝65°，则∠BAC＝（）

A、20° B、25° C、30° D、35°

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10. 将抛物线y=3x²+2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（）

A、y=3（x﹣2）²﹣1 B、y=3（x﹣2）²+5 C、y=3（x+2）²﹣1 D、y=3（x+2）²+5

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二、填空题

11. 正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为．

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12. 在比例尺为 $1 : 36000$ 的某市旅游地图上，某条道路的长为 $7 cm$ ，则这条道路的实际长度为 $km$ .

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13. 关于 $x$ 的方程 $a x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 有两个实数根，则 $a$ 的取值范围是.

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14. 如图，直线 $M N // P Q$ ，直线 $A B$ 分别与 $M N$ ，PQ交于点A，B，小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点 $A$ 为圆心，以任意长为半径作弧交 $A N$ 于点 $C$ ，交AB于点 $D$ ，②分别以C、D为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 长为半径作弧，两弧在 $∠ N A B$ 内交于点 $E$ ；③作射线 $A E$ 交 $P Q$ 于点F，若∠ABP=70°，则 $∠ A F B =$ .

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15. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k =$ .

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16. 已知线段AB=2cm，点C在线段AB上，且AC²=BC·AB ，则AC的长cm．

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17. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，等边 $△ A B C$ 的顶点 $A$ 在 $y$ 轴的正半轴上， $B (- 5 ， 0)$ ， $C (5 ， 0)$ ，点 $D (11 ， 0)$ ，将 $△ A C D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转60°得到 $△ A B E$ ，则 $\overset{⌢}{B C}$ 的长度为，图中阴影部分面积为.

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18. 如图，一次函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象在第一象限交于点A，点C在以 $B (6 ， 0)$ 为圆心，1为半径的⊙B上，已知当点C到直线OA的距离最大时 $△ A O C$ 的面积为8，则该反比例函数的表达式为.

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19. 如图，面积为4的平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ，过点 $B$ 作 $C D$ 边的垂线，垂足为点 $E$ ，点 $E$ 正好是 $C D$ 的中点，点 $M$ 、点 $N$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ .上的动点， $M N$ 的延长线交线段 $D E$ 于点 $P$ ，若点 $P$ 是唯一使得线段 $∠ M P B = 45 °$ 的点，则线段 $C N$ 长 $x$ 的取值范围是.

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三、解答题

20.

(1)、计算： $\sqrt{8} + {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ +(﹣1)⁰﹣2sin45°；

(2)、化简： $(\frac{1}{a - b} - \frac{1}{a + b}) \div \frac{2 a b}{a^{2} - b^{2}}$ .

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21. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 1 < 7 ① \\ \frac{3 x - 1}{2} ⩾ x + 1 ② \end{array}$ 并在数轴上表示出不等式组的解集

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22. 学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、求全班学生总人数；

(2)、在扇形统计图中，a＝， b＝， C类的圆心角为；

(3)、张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请求出全是B类学生的概率．

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23. 浮式起重机是海上打捞、海上救援和海上装卸的重要设备（如图①），某公司的浮式起重机需更换悬索，该公司设计了一个数学模型（如图（2），测量知， $∠ A = 30 °$ ， $∠ C = 49 °$ ， $A B = 60 m$ .请你利用以上数据，求出悬索 $A C$ 和支架 $B C$ 的长（结果取整数）.参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sin 49 ° \approx 0.75$ ， $\cos 49 ° \approx 0.66$ ， $\tan 49 ° \approx 1.15$ .

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24. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的顶点 $C$ 与原点 $O$ 重合，点D在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $x > 0$ ）的图象上， $D (4 ， 3)$ ，设 $A B$ 所在直线解析式为 $y = a x + b$ （ $a \neq 0$ ）.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、若将菱形 $A B C D$ 沿 $x$ 轴正方向平移 $m$ 个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边 $A D$ 始终有交点，求 $m$ 的取值范围.

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25. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A B C$ 的角平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 是 $A B$ 上一点，以 $B E$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $A C$ 、 $B C$ 于点 $D$ 、 $F$ .

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、 $\frac{C F}{B F} = \frac{1}{3}$ ，求 $\cos ∠ C D B$ ；

(3)、在（2）问的条件下，点 $G$ 为 $O E$ 上一点，过点 $G$ 作 $A B$ 的垂线，交 $B D$ 延长线于点 $M$ ，交 $A C$ 于点 $N$ ， $\frac{E G}{A E} = \frac{2}{5}$ .若 $⊙ O$ 的半径为5，求 $M N$ 的长.

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26. 某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶，现决定降价销售.市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价）（元），每天的销售量为 $y$ （瓶）.

(1)、求每天的销售量 $y$ （瓶）与销售单价 $x$ （元）之间的函数关系式；

(2)、当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

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27. 正方形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $B C$ 、 $C D$ 上的动点，且 $B E = C F$ ， $A E$ 与 $B F$ 交于点 $G$ .

(1)、如图1，若 $A B = 3$ ， $B E = C F = 1$ ，求 $E G$ ；

(2)、如图2，在 $G F$ 上截取 $G M = G B$ ， $∠ M A D$ 的平分线交 $B F$ 于点 $N$ ，连接 $C N$ ，求证： $A N + C N = \sqrt{2} B N$ .

(3)、如图3，若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，在 $A G$ 上截取 $G P = G B$ ，点 $Q$ 、 $R$ 分别是 $A D$ 、 $B D$ 上的动点，直接写出 $△ P Q R$ 的周长的最小值.

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28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $O C = O B = 2 O A = 6$ ，点 $P$ 是第一象限内抛物线上的动点.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、连接 $B C$ 与 $O P$ ，交于点 $D$ ，当 $S_{△ P C D} ： S_{△ O D C}$ 的值最大时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、点 $M$ 在抛物线上运动，点 $N$ 在 $y$ 轴上运动，是否存在点 $M$ 、点 $N$ .使 $∠ C M N = 90 °$ ，且 $△ C M N$ 与 $△ B O C$ 相似，若存在，请求出点 $M$ 、点 $N$ 的坐标.

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号码	33	34	35	36	37
人数	7	9	12	1	1