浙江省湖州市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-17 类型：中考真卷

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 实数-2的绝对值是（）

A、-2 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 化简 $\sqrt{8}$ 的正确结果是（）

A、4 B、±4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\pm 2 \sqrt{2}$

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3. 不等式 $3 x - 1 > 5$ 的解集是（）

A、 $x > 2$ B、 $x < 2$ C、 $x > \frac{4}{3}$ D、 $x < \frac{4}{3}$

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4. 下列事件中，属于不可能事件的是（）

A、经过红绿灯路口，遇到绿灯 B、射击运动员射击一次，命中靶心 C、班里的两名同学，他们的生日是同一天 D、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球

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5. 将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，已知点O是△ABC的外心，∠A=40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是（）

A、60° B、70° C、80° D、90°

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7. 已知 $a$ ， $b$ 是两个连续整数， $a < \sqrt{3} - 1 < b$ ，则 $a$ ， $b$ 分别是（）

A、-2，-1 B、-1，0 C、0，1 D、1，2

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8. 如图，已知在△ABC中，∠ABC<90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线。按下列步骤作图：
①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连结CO，DE。则下列结论错误的是（）

A、OB=OC B、∠BOD=∠COD C、DE∥AB D、DB=DE

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9. 如图，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC= $\sqrt{3}$ ，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C₁ ，当点P运动时，点C₁页随之运动。若点P从点A运动到点D，则线段CC₁扫过的区域面积是

A、π B、 $π + \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $2 π$

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10. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P₁（ $x_{1}$ ， $y_{1}$ ），P₂（ $x_{2}$ ， $y_{2}$ ）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P₁AB的面积为S₁ ， △P₂AB的面积为S₂。有下列结论：①当 $x_{1} > x_{2} + 2$ 时，S₁>S₂；②当 $x_{1} < 2 - x_{2}$ 时，S₁<S₂；③当 $| x_{1} - 2 | > | x_{2} - 2 | > 1$ 时，S₁>S₂；④当 $| x_{1} - 2 | > | x_{2} + 2 | > 1$ 时，S₁<S₂。其中正确结论的个数是

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 计算： $2 \times 2^{- 1}$ =

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12. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，则sinB的值是

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13. 某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同。若以每1000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其它奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是

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14. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点），则图中∠A的度数是度

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15. 已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ （ $a \neq 0$ ）对称轴上的一个动点。小明经探究发现：当 $\frac{b}{a}$ 的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定。若抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ （ $a \neq 0$ ）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则 $\frac{b}{a}$ 的值是

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16. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）。则图中AB的长应该是

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三、解答题（本题有8小题，共66分）

17. 计算： $x (x + 2) + (1 + x) (1 - x)$

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18. 解分式方程： $\frac{2 x - 1}{x + 3} = 1$

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19. 如图，已知经过原点的抛物线 $y = 2 x^{2} + m x$ 与x轴交于另一点A（2，0）。

(1)、求m的值和抛物线顶点M的坐标；

(2)、求直线AM的解析式。

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20. 为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：A.党史宣讲；B.歌曲演唱；C.校刊编撰；D.诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情况制成了如下统计图表（不完整）：
各组参加人数情况统计表

小组类别

A

B

C

D

人数（人）

10

a

15

5

各组参加人数情况扇形统计图

根据统计图表中的信息，解答下列问题：

(1)、求m的值；

(2)、求扇形统计图中D所对应的圆心角度数；

(3)、若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示：

小组类别

A

B

C

D

平均用时（小时）

2.5

3

2

3

求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间。

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21. 如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是 $\overset{⌢}{A D}$ 所对的圆周角，∠ACD=30°。

(1)、求∠DAB的度数；

(2)、过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F。若AB=4，求DF的长。

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22. 今年以来，我市接待的游客人数逐月增加。据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人。

(1)、求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；

(2)、若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：

购票方式	甲	乙	丙
可游玩景点	A	B	A和B
门票价格	100元/人	80元/人	160元/人

据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票。

①若丙种门票下降10元，求景区六月份的门票总收入；

②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？

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23. 已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP。

(1)、如图1，若∠ACD=30°，∠CAD=60°，BD=AC，AP= $\sqrt{3}$ ，求BC的长；

(2)、过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD=60°，BD=AC，求证：BC=2AP；

(3)、如图3，若∠CAD=45°，是否存在实数m，当BD=mAC时，BC=2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由。

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24. 已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 图像上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $x < 0$ ）的图像于点B，过点A作AE⊥ $y$ 轴于点E。

(1)、如图1，过点B作BF⊥ $x$ 轴于点F，连结EF，
①若 $k = 1$ ，求证：四边形AEFO是平行四边形；

②连结BE，若 $k = 4$ ，求△BOE的面积。

(2)、如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $x < 0$ ）的图像于点P，连结OP。
试探究：对于确定的实数 $k$ ，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由。

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小组类别	A	B	C	D
人数（人）	10	a	15	5

小组类别	A	B	C	D
平均用时（小时）	2.5	3	2	3