广西南宁城区2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-16 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 4的平方根是（　　）

A、 ±2 B、－2 C、2 D、 $\sqrt{2}$

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2. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）

A、长方体 B、正方体 C、圆柱 D、球

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3. 纳秒（ns）是非常小的时间单位，1 ns＝ $10^{- 9}$ s．北斗全球导航系统的授时精度优于20 ns，20纳秒（ns）=0.00000002 s，数据0.00000002用科学记数法表示是（　　）

A、 $2 \times 10^{- 9}$ B、 $2 \times 10^{- 8}$ C、 $2 \times 10^{- 7}$ D、 $- 2 \times 10^{- 8}$

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4. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A、赵爽弦图 B、笛卡尔心形线 C、斐波那契螺旋线 D、科克曲线

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5. 下列说法正确的是（　　）

A、对我国火星探测器“天问一号”各零部件的质量情况的调查，适合抽样调查； B、对我市市民知晓“礼让斑马线”交规的情况的调查，适合全面调查； C、“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件； D、“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件.

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6. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径画弧，两弧相交于点M ， N ，作直线MN ，交BC于点D ，连接AD ．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（　　）

A、20 B、17 C、14 D、7

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7. 一组数据2，3，4，x ， 7的平均数是4，则这一组数据的众数是（　　）

A、2 B、3 C、4 D、6

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8. 今年某地区3月初感染新冠病毒确诊人数10人，通过社会各界的努力，5月初确诊人数减少至8人．设3月初至5月初该地区确诊人数的月平均下降率为 $x$ ，根据题意列方程为（　　）

A、 $10 (1 - 2 x) = 8$ B、 $10 (1 + 2 x) = 8$ C、 $10 {(1 - x)}^{2} = 8$ D、 $10 {(1 + x)}^{2} = 8$

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9. 已知一次函数y＝ax+2的图象如图所示．则不等式ax+2≥2的解集是（　　）

A、x≤0 B、x≥0 C、x≤2 D、x≥2

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10. 《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD ，点E ， G分别为CD ， AD的中点，EF⊥CD ， GH⊥AD ，点F ， D ， H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（　　）

A、150步 B、200步 C、250步 D、300步

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11. 如图，一张扇形纸片OAB ， ∠AOB＝120°，OA＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD ，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（　　）

A、 $9 \sqrt{3}$ B、 $12 π - 9 \sqrt{3}$ C、 $18 \sqrt{3}$ D、 $6 π - 18 \sqrt{3}$

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12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n ， 2）两点．若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m ，则k的值是（　　）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{5}{3}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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二、填空题

13. ﹣3的倒数为．

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14. 一副三角板按如图所示放置，AB∥DC ，则∠ACE的度数为°．

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15. 经过某十字路口的汽车，可直行，也可向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是．

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16. 用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 $A B C D E$ ．图中， $∠ B A C =$ 度．

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17. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为 $a_{1}$ ，第二个三角形数记为 $a_{2}$ …第n个三角形数记为 $a_{n}$ ，已知 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2}$ $= \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} =$ ．

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18. 如图，Rt△ABO中，∠ABO＝90°，AB=2BO＝2．以AB为边作正方形ABCD ．点E是边BC上一动点，连接AE ，过O作AE的垂线，垂足为F ，连接CF ．则线段CF的最小值是．

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三、解答题

19. 计算： ${(- 4)}^{2} \div 2 + 9 \times (- \frac{1}{3}) - | - 5 |$ ．

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20. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 (x + 1) > x ， \\ 1 \geq \frac{x - 3}{2} . \end{array}$ 并写出它的负整数解．

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21. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别是 $B C ， A D$ 边上的点，且 $A E = C F$ ．

(1)、求证： $Δ A B E ≅ Δ C D F$ ；

(2)、当 $A C ⊥ E F$ 时，四边形 $A E C F$ 是菱形吗？请说明理由．

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22. 为了加强校园安全，某学校开展了校园安全相关知识的宣传教育活动．为了解这次宣传活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取100名学生进行知识测试（测试满分100分，得分均为整数），并根据这100人的测试成绩，制作了如下统计图表．

100名学生知识测试成绩的频数表
组别	成绩x（分）	频数（人）	频率
A	50≤x＜60	10	0.10
B	60≤x＜70	15	0.15
C	70≤x＜80	a	b
D	80≤x＜90	40	0.40
E	90≤x≤100	15	0.15

由图表中给出的信息回答下列问题：

(1)、a= ， b=；

(2)、请判断随机抽取的100名学生测试成绩的中位数落在哪一组，并简要说明理由；

(3)、如果80分以上（包括80分）为优秀，请估计全校1200名学生中成绩优秀的人数．

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23. 阅读理解：如图1在锐角△ABC中，∠A ， ∠B ， ∠C的对边分别是a，b，c ，其外接圆的半径为r ，作直径BD ，连接DC ，则∠A＝∠D ．
∵BD是直径，

∴∠BCD＝90°，

∴在Rt△BCD中， $\sin D = \frac{B C}{B D} = \frac{a}{2 r}$ ，

∴ $\sin A = \frac{a}{2 r}$ ， $\frac{a}{\sin A} = 2 r$ ．

　　　　

解决问题：

如图2，在△ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，BC=2．

(1)、求△ABC外接圆的半径r；

(2)、求sinC的值．

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24. 南宁市某体育器材经营店销售A型，B型两种品牌立定跳远考试测试仪，今年两种型号的测试仪的进价和售价如下表．已知A型测试仪去年和今年的1月份销售总额分别为4万元，6万元，今年A型测试仪每台销售价比去年增加400元．今年1月份A型测试仪的销售数量与去年1月份相同．

立定跳远测试仪

A型

B型

进价（元/台）

1000

1100

售价（元/台）

x

1500

(1)、求今年1月份的A型立定跳远测试仪的销售单价.（用列方程的方法解答）

(2)、进入3月份，各校进入体育中考备考冲刺阶段，立定跳远测试仪销量大增，该店计划3月份再进一批A型和B型立定跳远考试测试仪共200台，且B型测试仪不超过A型测试仪的2倍，设A型立定跳远测试仪售价为x元/台，应如何进货才能使这批测试仪获利最多？

(3)、该体育器材经营店为了吸引客源，增加销量，准备增购一种进价为500元/台的C型立定跳远测试仪，购进这三种立定跳远测试仪若干台共用8万元，其中B型的数量是A型数量的2倍，设A型测试仪购进a台，则该店至少可以购进三种测试仪共多少台？

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25. 如图1，已知 $y = \frac{1}{5} x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于A ， B两点，点P（3，﹣3）是抛物线在第四象限上的一点，点A的坐标为（﹣2，0）．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、抛物线对称轴交x轴于点Q ，若抛物线上存在点C ，使∠CPQ＝∠PQB ，求点C的坐标；

(3)、将x轴下方的抛物线沿x轴向上翻折得到如图2所示的图象，若直线 $y = k x + \frac{12}{5}$ 与这个图形恰有四个公共点，直接写出k的取值范围．

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26. （问题情境）已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝6，E是BC边上一个动点，连接AE，以AE为直径作⊙O分别交BC、AB于点D和F ，点D在点E左侧，连接DF、AD ．

(1)、（解决问题）如图1，求线段AD的长；

(2)、（初步探究）如图2，若AE平分∠BAC ，求 $\frac{A D}{D E}$ 的值；

(3)、（深入探究）是否存在点E ，使得△ADF是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的BE的长；若不存在，请说明理由．

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立定跳远测试仪	A型	B型
进价（元/台）	1000	1100
售价（元/台）	x	1500