山东省烟台招远市（五四制）2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-06-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列运算正确的是（　　）

A、 $2 a^{3} \cdot 3 a^{2} = 6 a^{6}$ B、 ${(- x^{3})}^{4} = x^{12}$ C、 ${(a + b)}^{3} = a^{3} + b^{3}$ D、 $- 2 m n - m n = - m n$

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3. 数学老师为了判断小颖的数学成绩是否稳定，对小颖在中考前的6次模拟考试中的成绩进行了统计，老师应最关注小颖这6次数学成绩的（　　）

A、方差 B、中位数 C、平均数 D、众数

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4. 如图，已知 $∠ E O C$ 是平角， $O D$ 平分 $∠ B O C$ ，在平面上画射线 $O A$ ，使 $∠ A O C$ 和 $∠ C O D$ 互余，若 $∠ B O C = 56 °$ ，则 $∠ A O B$ 的度数为（）

A、 $118 °$ B、 $34 °$ C、 $90 °$ 或 $34 °$ D、 $118 °$ 或 $6 °$

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5. 2020年的政府工作报告中，在回顾2019年的工作时提到：农村贫困人口减少1109万，贫困发生率降至 $0.6 %$ ，脱贫攻坚取得决定性成就．将数据1109万用科学记数法表示为（　　）

A、 $0.1109 \times 10^{8}$ B、 $1.109 \times 10^{6}$ C、 $1.109 \times 10^{7}$ D、 $1.109 \times 10^{8}$

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6. 不等式组 ${\begin{matrix} 2 x + 1 \leq 3 \\ - x < 3 \end{matrix}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线，连接 $O C$ 交 $⊙ O$ 于点D，连接 $B D$ ．若 $∠ C = 46 °$ ，则 $∠ B$ 的度数是（）

A、 $21 °$ B、 $22 °$ C、 $27 °$ D、 $28 °$

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8. 利用计算器求值时，小明将按键顺序为显示结果记为a，的显示结果记为b．则a，b的大小关系为（）

A、a＜b B、a＞b C、a=b D、不能比较

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9. 小刚身高 $1.7 m$ ，测得他站立在阳光下的影子长为 $0.85 m$ ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 $1.11 m$ ，那么小刚举起的手臂超出头顶（　　）

A、 $0.5 m$ B、 $0.52 m$ C、 $0.55 m$ D、 $2.22 m$

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10. 有下列四个函数：① $y = 2 x$ ② $y = - \frac{1}{2} x$ ③ $y = \frac{4}{x}$ ④ $y = - {(x - \frac{5}{3})}^{2} + \frac{32}{9}$ ，其中图像经过如图所示的阴影部分（包括边界）的函数有（）

A、1 个 B、2个 C、3 个 D、4个

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11. 如图， $⊙ M$ 的半径为2，圆心 $M$ 的坐标为 $(3 ， 4)$ ，点 $P$ 是 $⊙ M$ 上的任意一点， $P A ⊥ P B$ ，且 $P A$ ， $P B$ 与 $x$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，若点 $A$ ，点 $B$ 关于原点 $O$ 对称，则 $A B$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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12. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，有以下结论：① $a + b + c < 0$ ；② $a - b + c > 1$ ；③ $a b c > 0$ ；④ $3 a + c < 0$ ；⑤ $c - a > 1$ ．其中所有正确结论的序号是（　　）

A、①② B、①③④ C、①②③④ D、①②③④⑤

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二、填空题

13. -64的立方根是。

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14. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 7 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1}^{2} + 3 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}$ 的值是．

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15. 如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中 $∠ A B C = 90 °$ ， $A C = 13 cm$ ， $A B = 5 cm$ ，小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影部分的概率是．

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 cm$ ， $B C = 5 cm$ ，将矩形 $A B C D$ 绕点A逆时针旋转得到矩形 $A B' C' D'$ ， $A B'$ 交 $C D$ 于点E，且 $D E = B' E$ ，则 $A E$ 的长为．

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17. 如图，在扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ，点C为 $O A$ 的中点， $C E ⊥ O A$ 交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点E，以点O为圆心， $O C$ 的长为半径作 $\overset{⌢}{C D}$ 交 $O B$ 于点D．若 $O A = 8$ ，则图中阴影部分的面积为．

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18. 如图， $M N$ 为⊙O的直径， $A 、 B$ 是⊙O上的两点，过A作 $A C ⊥ M N$ 于点C，过B作 $B D ⊥ M N$ 于点D，P为 $D C$ 上的任意一点，若 $M N = 10$ ， $A C = 4$ ， $B D = 3$ ，则 $P A + P B$ 的最小值是．

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $(\frac{x^{2} - 2 x + 4}{x - 1} - x + 2) \div \frac{x^{2} + 4 x + 4}{1 - x}$ ，其中x满足x²﹣4x+3＝0.

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20. “金山银山，不如绿水青山”．各市区不断推进“森林城市”建设，今春种植四类树苗，园林部门从种植的这批树苗中随机抽取了4000棵，将各类树苗的种植棵数绘制成扇形统计图，将各类树苗的成活棵数绘制成条形统计图，经统计松树和杨树的成活率较高，且杨树的成活率为 $97 %$ ，根据图表中的信息解答下列问题：

(1)、扇形统计图中松树所对的圆心角为度，并补全条形统计图．

(2)、该旗区今年共种树34万棵，成活了约多少棵？

(3)、园林部门决定明年从这四类树苗中选两类种植，请用列表法或树状图求恰好选到成活率较高的两类树苗的概率．（松树、杨树、榆树、柳树分别用A，B，C，D表示）

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21. 烟台苹果享誉全国．某水果超市计划从烟台购进“红富士”与“新红星”两种品种的苹果．已知3箱红富士苹果的进价与4箱新红星苹果的进价的和为396元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵6元

(1)、求每箱“红富士”苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元？

(2)、该水果超市计划再次购进100箱苹果，已知：“红富士”苹果的售价每箱65元，“新红星”苹果的售价每箱60元，根据市场的实际需求，“红富士”苹果的数量不低于“新红星”苹果数量的4倍．为使该水果超市售完这100箱苹果的总利润最大，该超市应如何进货？并求出最大利润．

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22. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A D$ 为 $⊙ O$ 的直径， $B C$ 的延长线与过点A的直线相交于点E，且 $∠ B = ∠ E A C$ ．

(1)、求证： $A E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、已知 $C F / / A E$ ， $C F$ 与 $A B$ ， $A D$ 分别相交于点F，H．若 $A B \cdot A F = 25$ ， $A D = 13$ ，求 $\tan ∠ A C F$ 的值．

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23. 如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形 $A B C D$ ）靠墙摆放，高 $A D = 70 cm$ ，宽 $A B = 46 cm$ ，小强身高 $166 cm$ ，下半身 $F G = 100 cm$ ，洗漱时下半身与地面成 $80 °$ （ $∠ F G K = 80 °$ ），身体前倾成 $125 °$ （ $∠ E F G = 125 °$ ），脚与洗漱台距离 $G C = 13 m$ （点D，C，G，E在同一直线上）．

(1)、此时小强头部E点与地面 $D K$ 相距多少？

(2)、小强希望他的头部E恰好在洗漱盆 $A B$ 的中点O的正上方，他应向前或后退多少？（ $\cos 80 ° \approx 0.17$ ， $\sin 80 ° \approx 0.98$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ，计算结果精确到 $0.1 cm$ ）

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24.

(1)、探究发现：
如图1，将两块完全相同的含 $45 °$ 的直角三角板斜边重合，拼成四边形 $A B C D$ ．P是对角线 $B D$ 上一动点， $A P = P E$ ，且点E在 $A D$ 延长线上， $P E$ 交 $C D$ 于点F，连接 $P C$ ．通过探究可以求出： $∠ C P E$ 的度数 $=$ ．

(2)、拓展延伸：

若将“含 $45 °$ 的直角三角板”换成“含 $30 °$ （ $∠ A B D = ∠ C B D = 30 °$ ）的直角三角板”，其他条件不变，如图2，直接写出 $∠ C P E$ 的度数 $=$ ；

(3)、若将“含 $45 °$ 的直角三角形板”换成“含 $30 °$ （ $∠ A B D = ∠ C B D = 30 °$ ）的直角三角板”，将“且点E在 $A D$ 延长线上”换成“且点E在线段 $A D$ 上（不与点A，D重合）”，其他条件不变，如图3，求 $∠ C P E$ 的度数（请说明理由）；

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25. 如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与一直线相交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $C (2 ， 3)$ 两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

(1)、抛物线及直线 $A C$ 的函数关系式；

(2)、若抛物线的对称轴与直线 $A C$ 相交于点B，E为直线 $A C$ 上的任意一点，过点E作 $E F / / B D$ 交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

(3)、若P是抛物线上位于直线 $A C$ 上方的一个动点，求 $△ A P C$ 的面积的最大值．

(4)、设点M的坐标为 $(3 ， m)$ ，直接写出使 $M N + M D$ 的和最小时m的值．

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