江苏省南通市如皋市2020-2021学年高一下学期数学期初调研测试试卷

试卷更新日期：2021-06-16 类型：开学考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x ∣ x^{2} - 4 < 0}$ ， $B = {x ∣ \lg x < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 2)$

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2. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} + m - 1}$ 是幂函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数，则实数m的值是（）．

A、-1或2 B、2 C、-1 D、1

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3. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \sqrt{3}, | \vec{b} | = 2, | \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{5}$ ，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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4. 正数 $a, b$ 满足 $\frac{9}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ，若 $a + b \geq x^{2} + 2 x$ 对任意正数 $a, b$ 恒成立，则实数x的取值范围是（）

A、 $[- 4, 2]$ B、 $[- 2, 4]$ C、 $(- \infty, - 4] \cup [2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [4, + \infty)$

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5. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇而的面积为（）

A、704 ${cm}^{2}$ B、352 ${cm}^{2}$ C、1408 ${cm}^{2}$ D、320 ${cm}^{2}$

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6. 若 $f (x) = {\begin{matrix} 3^{x} ， x \in [- 1 ， 0) \\ - {(\frac{1}{3})}^{x} ， x \in [0 ， 1] \end{matrix}$ ，则 $f (f (\log_{3} 2))$ 数的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、-2

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7. 设函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{5 π}{6})$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 为偶函数，则 $φ$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为R的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} | \log_{2} x |, 0 < x \leq 2 ， \\ \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 7, x > 2 ， \end{array}$ 则函数 $y = | f (x) + \frac{1}{4} | - \frac{3}{4}$ 的所有零点之和是（）.

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2} - 4}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2} - 9}{2}$ D、 $0$

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9. 如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下面的有关结论不正确的是（）

A、经过3分钟，点P首次到达最低点 B、第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高 C、从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低 D、摩天轮在旋转一周的过程中点P有2分钟距离地面不低于65米

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二、多选题

10. 已知向量 $\vec{m} = (1 ， 0)$ ， $\vec{n} = (\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ ，则（）

A、 $| \vec{m} | = \sqrt{2} | \vec{n} |$ B、 $(\vec{m} - \vec{n}) / / \vec{n}$ C、 $(\vec{m} - \vec{n}) ⊥ \vec{n}$ D、 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$

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11. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 4$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $\sqrt{a b} \leq 2$ B、 $a^{2} + b^{2} \geq 8$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 1$ D、 $0 < \frac{1}{a b} \leq \frac{1}{4}$

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12. 对于定义在R上的函数 $f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $f (2) > f (1)$ ，则 $f (x)$ 在R上不是减函数 B、若 $f (x)$ 为奇函数，且满足对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ， $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{x_{1} + x_{2}} > 0$ ，则 $f (x)$ 在R上是增函数 C、若 $f (- 2) = f (2)$ ，则函数 $f (x)$ 是偶函数 D、若函数 $f (x)$ 是奇函数，则 $f (- 2) \neq f (2)$ 一定成立

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三、填空题

13. 全称命题“ $\forall x > 0$ ， $3 x^{2} + 2 x > 2$ ”的否定是．

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14. 函数 $f (x) = a^{x + 1} + 1$ (a>0且a≠1)的图象恒过点定 $A$ ，若角 $α$ 终边经过点 $A$ ，则 $\sin^{2} α + \sin (α + \frac{3 π}{2}) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n^{2} x}{s i n x + 2}$ ，则 $f (x)$ 的最大值为．

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16. 如果，已知正方形 $A B C D$ 的边长为2， $B C$ 平行 $x$ 轴，顶点 $A$ ， $B$ 和 $C$ 分别在函数 $y_{1} = 3 \log_{a} x$ ， $y_{2} = 2 \log_{a} x$ 和 $y = \log_{a} x (a > 1)$ 的图像上，则实数 $a$ 的值为

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (4 - x) - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ 的定义域为集合 $A$ ，集合 $B = {x | 1 - 2 m \leq x < m + 1}$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $(∁_{R} A) \cup B$ ；

(2)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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18.

(1)、已知 $\sin α + \cos α = - \frac{1}{5}$ ， $\frac{π}{2} < α < π$ .求 $\frac{1}{\sin α} - \frac{1}{\cos α}$ 的值.

(2)、已知 $f (θ) = \frac{\sin (π - θ) \cos (π + θ) \tan (3 π - θ)}{\cos (\frac{3 π}{2} - θ)}$ ，求 $f (- \frac{7 π}{3})$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + \frac{π}{6}) (A > 0, ω > 0)$ 只能同时满足下列三个条件中的两个：①图象上一个最低点为 $M (\frac{2 π}{3}, - 2)$ ；②函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ 的图象平移得到；③若对任意 $x \in R$ ， $f (x_{1}) \leq f (x) \leq f (x_{2})$ 恒成立，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、请写出这两个条件序号，并求出 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求方程 $f (x) - 1 = 0$ 在区间 $[- π, π]$ 上所有解的和.

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20. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $B C / / A D$ ， $B C = 1$ ， $A D = 3$ ， $△ A B C$ 为等边三角形， $E$ 是 $C D$ 的中点.设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A C}$ ， $\vec{A E}$ ，

(2)、求 $\vec{A E}$ 与 $\vec{A B}$ 夹角的余弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - | a x - 3 | - 1$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有4个不同的零点，求实数a的取值范围．

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22. 若函数 $f (x)$ 为R上的奇函数， $g (x)$ 为R上的偶函数， $f (x) + g (x) = a^{x}$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )， $f (1) = \frac{3}{4}$ .

(1)、求 $f (x)$ ， $g (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $g (2 x) + 2 > m g (x)$ 对任意实数x成立，求实数m的取值范围；

(3)、 $h (x) = \log_{m} [a^{2 x} + a^{- 2 x} - 2 m f (x)]$ ( $m > 0$ 且 $m \neq 1$ )，是否存在实数m使得 $h (x)$ 在 $[1, \log_{2} 3]$ 上的最大值为0，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由.

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