江苏省南通市2020-2021学年高一下学期数学期初考试试卷

试卷更新日期：2021-06-16 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {- 1, 0, 1}$ ， $N = {0, 1, 2}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${- 1, 0, 1, 2}$ C、 ${- 1, 0, 2}$ D、 ${0, 1}$

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2. 若命题 $p : \forall x \in R$ ， $x^{2} - x > 0$ ，则命题p的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x \leq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x > 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x \leq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x < 0$

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3. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 2, 4)$ ，则函数 $\sin α - \cos α$ 的值等于（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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4. 若 $x > 0, y > 0$ ，且 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1, x + 2 y > m^{2} - 2 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2, 4)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (4, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 4) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- 4, 2)$

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5. 要得到函数 $y = \sqrt{2} \cos x$ 的图象，只需将函数 $y = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 C、向上平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 D、向下平移 $\frac{π}{4}$ 个单位

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6. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} \cos \frac{π x}{2}, x \leq 0 \\ f (x - 1) + 1, x > 0 \end{array}$ ，则 $f (2) =$ （）

A、2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、-3 D、3

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7. 设函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， + \infty)$ 上的增函数，实数 $a$ 使得 $f (1 - a x - x^{2}) < f (2 - a)$ 对于任意 $x \in [0 ， 1]$ 都成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $[- 2 ， 0]$ C、 $(- 2 - 2 \sqrt{2} ， - 2 + 2 \sqrt{2})$ D、 $[0 ， 1]$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 3 ， x \geq 0 \\ - x + 1 ， x < 0 \end{array}$ ，若函数 $y = f (f (x)) - k$ 有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（　　）

A、 $(1 ， 4)$ B、 $(1 ， 4]$ C、 $[1 ， 4)$ D、 $[1 ， 4]$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ 且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a b > 0$ B、若 $a > b > 0$ 且 $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ C、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$ D、若 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ，则 $a c < b d$

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10. 下列说法中，正确的有（）

A、若 $a < b < 0$ ，则 $a b > b^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ C、若对 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $x + \frac{1}{x} \geq m$ 恒成立，则实数m的最大值为2 D、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为4

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11. 下列说法中，正确的有（）

A、 $e^{\ln 1} + \lg 2 + \lg 2 \lg 5 + \lg^{2} 5 = 2$ B、幂函数 $y = x^{α}$ 图像过原点时，它在区间 $(0, + \infty)$ 上一定是单调增函数 C、设 $a, b \in (0, 1) \cup (1, + \infty)$ ，则“ $\log_{a} b = \log_{b} a$ ”是“ $a = b$ ”的必要不充分条件 D、“ $φ = \frac{π}{2} + 2 k π (k \in Z)$ ”是“函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ 为偶函数”的充要条件

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12. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如 $[- 2.1] = - 3$ ， $[2.1] = 2$ .已知函数 $f (x) = \sin | x | + | \sin x |$ ，函数 $g (x) = [f (x)]$ ，则（　　）

A、函数 $g (x)$ 的值域是 ${0 ， 1 ， 2}$ B、函数 $g (x)$ 是周期函数 C、函数 $g (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、方程 $\frac{π}{2} \cdot g (x) = x$ 只有一个实数根

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三、填空题

13. 不等式 $\frac{2 x + 3}{x - 1} < 1$ 的解集是．

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14. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的简车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式 $H = 2 \sin (\frac{π}{60} t + φ) + \frac{5}{4} ， φ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $t = 0$ 时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为米.

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15. 地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级 $(M)$ 是用据震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为 $M = \lg A - \lg A_{0}$ ，其中 $A$ 是被测地震的最大振幅， $A_{0}$ 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的倍（精确到1）．

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16. 十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即 $a^{b} = N \Leftrightarrow b = \log_{a} N$ ，现已知 $a = \log_{2} 6, 3^{b} = 36$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} =$ ， $2^{\frac{a}{b}} =$ ．

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 $e^{\ln 2} + {(\frac{4}{9})}^{- \frac{1}{2}} + \sqrt[5]{- 32}$ ；

(2)、 ${(\lg 2)}^{2} + \lg 5 \cdot \lg 20 + \log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4$ .

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18. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{- x^{2} + 3 x + 10}}$ ，集合 $B = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ ，集合 $C = {x | 3 \leq x < 10, x \in Z}$ .

(1)、求 $A \cap C$ 的子集的个数；

(2)、若命题“ $\forall x \in A \cup B$ ，都有 $x \in A$ ”是真命题，求实数m的取值范围.

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19. 已知角 $α$ 是第二象限角，且 $\tan α = - 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $\sin^{2} α + 2 \sin α \cos α$ 的值；

(2)、求 $\sin (α - \frac{5 π}{4})$ 的值.

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20. 某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙(足够长)边画出一块面积为100平方米的矩形区域 $A B C D$ 修建花圃，规定 $A B C D$ 的每条边长不超过20米.如图所示，要求矩形区域 $E F G H$ 用来种花，且点 $A$ ， $B$ ， $E$ ， $F$ 四点共线，阴影部分为1米宽的种草区域.设 $A B = x$ 米，种花区域 $E F G H$ 的面积为 $S$ 平方米.

(1)、将 $S$ 表示为 $x$ 的函数；

(2)、求 $S$ 的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + m x - m$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 的最大值为0，求实数m的值．

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 0]$ 上单调递减，求实数m的取值范围．

(3)、是否存在实数m，使得 $f (x)$ 在 $[2, 3]$ 上的值域恰好是 $[2, 3]$ ？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = 3^{x} + 3^{- x}$ ，函数 $g (x) = f (2 x) - m f (x) + 6$ .

(1)、填空：函数 $f (x)$ 的增区间为

(2)、若命题“ $\exists x \in R, g (x) \leq 0$ ”为真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、是否存在实数 $m$ ，使函数 $h (x) = \log_{(m - 3)} g (x)$ 在 $[0, 1]$ 上的最大值为0？如果存在，求出实数 $m$ 所有的值.如果不存在，说明理由.

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