湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高一下学期数学2月开学收心考试试卷

试卷更新日期：2021-06-16 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x < 2}$ ， $B = {x | \frac{1}{2} < 2^{x} < 16}$ ．则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2 ， 4)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $\emptyset$ D、 $(- 1 ， 4)$

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2. 函数 $f (x) = x + \lg (x - 1) - 3$ 零点所在的整区间是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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3. 已知角 $θ$ 的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，其终边过点 $(3, - 4)$ ，则 $\cos (π - θ) =$

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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4. 已知 $x = \log_{3} π$ ， $y = \log_{5} 0.5$ ， $z = {0.3}^{e}$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $x > y > z$ B、 $y > x > z$ C、 $z > y > x$ D、 $x > z > y$

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5. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{2} + m x + 2$ ，且 $f (1) = - 2$ ，则 $f (2)$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、0 C、4 D、2

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6. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3}) + 1$ ，则下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴的方程是 $x = \frac{π}{12}$ C、若 $x \in [0 ， \frac{π}{6}]$ ，则函数 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3} + 1$ D、若 $0 < x_{1} < x_{2} < \frac{π}{2}$ ，则 $f (x_{1}) < f (x_{2})$

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7. 已知函数 $y = \log_{a} (x - 3) + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点P ，点P在幂函数 $y = f (x)$ 的图象上，则 $\lg f (4) + \lg f (25) =$ （ )

A、 $- 2$ B、2 C、1 D、 $- 1$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \log_{3} x | ， 0 < x \leq \sqrt{3} \\ 1 - \log_{3} x ， x > \sqrt{3} ， \end{array}$ 若关于x的方程 $f^{2} (x) + m f (x) + \frac{1}{12} = 0$ 有6个解，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(- 1 ， - \frac{\sqrt{3}}{3})$ C、 $(- 1 ， - \frac{2}{3})$ D、 $(- \frac{2}{3} ， - \frac{\sqrt{3}}{3})$

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二、多选题

9. 已知集合 $M = {- 1, 1}, N = {x | m x = 1}$ ，且 $M \cap N = N$ ，则实数m的值可以为（）

A、1 B、-1 C、2 D、0

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10. 下列命题中为真命题的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{a}{b} > 1$ B、若 $a c^{2} \geq b c^{2}$ ，则 $a \geq b$ C、若 $c > a > b > 0$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$ D、若 $a > b$ ，则 $a^{\frac{1}{3}} > b^{\frac{1}{3}}$

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11. 下列说法正确的是（）

A、 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值为2 B、 $x^{2} + 1$ 的最小值为1 C、 $0 < x < 2$ ， $3 x (2 - x)$ 的最大值为3 D、 $\sin x + \frac{4}{\sin x}$ 的最小值为4， $x \in (0, π)$

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12. $[x]$ 表示不超过x的最大整数，已知函数 $f (x) = x - [x]$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的定义域为R B、 $f (x)$ 的值域为 $[0, 1]$ C、 $f (x)$ 是周期函数 D、 $(k, k + 1) (k \in Z)$ 是 $f (x)$ 的单调增区间

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三、填空题

13. 已知 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{2 \sin α - \cos α}{\sin α + \cos α} =$ ．

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14. 把函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (- \frac{π}{2} \leq φ \leq \frac{π}{2})$ 的图象上所有的点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，所得图象与函数 $g (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象重合，则 $φ =$ ．

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15. 已知 $f (x) = \log_{2} (\frac{x - 10}{x + 10}) + 2 \sin x - 1 ， f (m - 2021) = 1 ， f (n - 2021) = - 3$ ，则 $m + n$ 的值为．

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16. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位： $m / s$ ）可以表示为 $v = \frac{1}{2} \log_{3} \frac{O}{100}$ ，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是 $m / s$ ；一条鱼静止时耗氧量的单位数为．

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四、解答题

17. 已知 $α ， β$ 均为锐角， $\cos α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\cos (α + β) = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $\sin (α + \frac{π}{6})$ 的值；

(2)、求 $\cos β$ 的值．

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18. 在“①函数 $y = \sqrt{x^{2} + 4 x - k}$ 的定义域为R，② $\forall x \in [- 2, 4]$ ，使得 $x^{2} + 4 k \leq 0$ 成立，③方程 $x^{2} + k = 0$ 在区间 $[2, + \infty)$ 内有解”这三个条件中任选一个，将其序号填在下面横线上，并进行解答．
问题：已知条件p： ▲ ，条件q：函数 $f (x) = x^{2} - k x$ 在区间 $(- 4, a)$ 上不单调，若p是q的必要条件，求实数a的最大值．

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19. 某公司在2020年承包了一个工程项目，经统计发现该公司在这项工程项目上的月利润P与月份x近似的满足某一函数关系．其中1月到4月所获利润统计如下表：

月份（月）

1

2

3

4

所获利润（亿元）

53

54

53

59

(1)、已知该公司的月利润P与月份x近似满足下列中的某一个函数模型：① $P (x) = a x^{2} + b x + c$ ；② $P (x) = a \log_{b} x + c$ ；③ $P (x) = a \times b^{x} + c$ ，请以表中该公司这四个月的利润与月份的数据为依据给出你的选择（需要说明选择该模型的理由），并据此估计该公司2020年6月份在这项工程项目中获得的利润；

(2)、对（1）中选择的函数模型 $P (x)$ ，若该公司在2020年承包项目的月成本符合函数模型 $Q (x) = \sqrt{P (x) + 2 x + 85}$ （单位：亿元），求该公司2020年承包的这项工程项目月成本的最大值及相应的月份．

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20. 函数 $f (x) = \frac{a x - b}{9 - x^{2}}$ 是定义在 $(- 3 ， 3)$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{1}{8}$ ．

(1)、确定 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(- 3 ， 3)$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、解不等式 $f (t - 1) + f (2 t) < 0$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^{2} x + \frac{3}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值和最大值及相应自变量x的集合；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域；

(3)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的单调递增区间．

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22. 函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的一个零点为 $\frac{π}{12}$ ，其图象距离该零点最近的一条对称轴为 $x = \frac{π}{3}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及函数 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、若关于x的方程 $f (x) - \log_{k} 3 = 0$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上总有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．

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月份（月）	1	2	3	4
所获利润（亿元）	53	54	53	59