安徽省皖南八校2020-2021学年高一下学期数学开学联考试卷

试卷更新日期：2021-06-16 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 1 - 2 x < - 1}, B = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(- 1, 3)$

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2. 已知 $a > b > 0$ .则下列结论错误的是（　　）

A、 $a b > b^{2}$ B、 $\frac{a + b}{2} > b$ C、 $\frac{b + 1}{a + 1} > \frac{b}{a}$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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3. 已知圆心角为1的扇形的面积为2，则该扇形的弧长为（　　）

A、1 B、2 C、4 D、π

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4. “ $a > b$ 且 $c > d$ ”是“ $a - b > d - c$ ”的（　　）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = \sqrt{- 2 \cos x - 1}$ 定义域为（）

A、 $[\frac{2 π}{3} + 2 k π, \frac{4 π}{3} + 2 k π] (k \in Z)$ B、 $[\frac{5 π}{6} + 2 k π, \frac{7 π}{6} + 2 k π] (k \in Z)$ C、 $[- \frac{2 π}{3} + 2 k π, \frac{2 π}{3} + 2 k π] (k \in Z)$ D、 $[- \frac{5 π}{6} + 2 k π, \frac{5 π}{6} + 2 k π] (k \in Z)$

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6. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式为（　　）

A、 $f (x) = \sin (3 x - \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = \sin (3 x - \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = \sin (6 x - \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = \sin (6 x - \frac{π}{6})$

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7. 定义在R上的奇函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (| φ | \leq \frac{π}{2})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后与函数 $g (x)$ 的图象重合，则函数 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 的单调递增区间为（　　）

A、 $[- \frac{5 π}{12} ， \frac{π}{12}]$ B、 $[- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ C、 $[- \frac{π}{2} ， - \frac{5 π}{12}]$ 和 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ D、 $[- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{12}]$ 和 $[\frac{5 π}{12} ， \frac{π}{2}]$

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8. 某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏.某科研部门在水域中投放一定面积的该植物研究发现，该植物在水面的覆盖面积y（单位： $m^{2}$ ）与经过的时间t（单位：月. $t \in N$ ）的关系为 $y = 8 \times {(\frac{4}{3})}^{t}$ ，则该植物在水域中的面积达到刚开始投放时的1000倍需要的时间（单位：月）为（　　）
参考数据： $\lg \frac{4}{3} \approx 0.125$ .

A、20 B、22 C、24 D、26

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9. 已知 $0 < α < β < π$ ，且 $\cos α = \frac{4}{5}$ ， $\cos (β - α) = - \frac{3}{5}$ ，则 $\sin (α + β) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{7}{25}$ D、 $- \frac{44}{125}$

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10. 已知正实数a ， b ， c满足 $3^{a} = \log_{\frac{1}{2}} a$ ， $2^{b} = \log_{\frac{1}{2}} b$ ， ${(\frac{1}{2})}^{c} = \log_{\frac{1}{2}} c$ ，则（　　）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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11. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (m x^{2} - 2 m x + 3 m)$ ，对任意 $x \in (0, 3)$ ，都有 $f (x) < 1$ ，则m的取值范围是（　　）

A、 $(0, \frac{1}{3}]$ B、 $(0, 1]$ C、 $(0, \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty, \frac{1}{3}]$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 2^{x} - 1 | ， x < 1 \\ - x + 2 ， x \geq 1 \end{array}$ ，若方程 $f (x) - m = 0$ 有三个不相等的实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则 $2^{x_{1}} + 2^{x_{2}}$ $+ 2^{x_{3}}$ 的取值范围为（　　）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 4)$ D、 $(4 ， 6)$

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二、填空题

13. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m}$ 是偶函数，则 $f (2) =$ .

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14. 已知函数 $y = \tan (x + φ) (0 < φ < π)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{4} ， 0)$ ，则 $φ =$ ．

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15. 已知 ${(\frac{1}{3})}^{m} = 5$ ， $9^{n} = 2$ ，则 $\lg 3 =$ .（用m ， n表示）

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16. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足对任意两个不等实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 1$ ，且 $f (2) = 2$ ，则不等式 $f (2^{x}) > 2^{x}$ 的解集为.

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三、解答题

17. 已知集合 $M = {x | - 3 < x < 4} ， N = {x | - x^{2} - 2 x + 3 > 0} ， P = {x | a < x < 2 a - 1}$ ．

(1)、求 $(∁_{R} M) \cup N$ ；

(2)、若 $P \subseteq (M \cap P)$ ，求实数a的取值范围．

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18. 已知角 $θ$ 的终边经过点 $P (3 a, 4 a) (a \neq 0)$ .

(1)、若 $\sin θ = - \frac{4}{5}$ ，求 $\cos θ$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin (π - θ) - \sin (θ - \frac{π}{2})}{\cos (- θ) + \cos (\frac{3 π}{2} - θ)}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 2}{x}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并用定义法证明；

(2)、已知 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上的最大值为m ，若正实数a ， b满足 $a b = m$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 最小值.

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20. 已知函数 $f (x) = \sin (2 ω x + \frac{π}{6}) - 2 \cos^{2} ω x (ω > 0)$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $f (x) = 0$ 的两个不相等的实根，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $π$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x \in [\frac{π}{6} ， m]$ ， $f (x)$ 的值域是 $[- \frac{1}{2} ， 0]$ ，求m的取值范围

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (a x + 2)$ ， $g (x) = \log_{2} (x - 1) (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在其定义域内单调递增，求函数 $f (x^{2})$ 的值域；

(2)、当 $a = 1$ 时，若关于x的方程 $f (x) = g (x) + m$ 在 $[2, 4]$ 上有实根，求m的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = a^{x} + k a^{- x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）是定义在R上的偶函数，且 $f (1) = \frac{17}{4}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - m \cdot 2^{x} + \frac{m}{2^{x}}$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最小值是1，求m的值.

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