安徽省江淮名校2020-2021学年高一下学期数学开学联考试卷

试卷更新日期：2021-06-16 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4}$ ，集合 $A = {1, 2}$ ， $B = {2, 3}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${3}$ C、 ${1, 2, 4}$ D、 ${2, 3, 4}$

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2. $\cos 50 ° \cos 10 ° - \sin 50 ° \sin 170 ° =$ （）

A、 $\cos 40 °$ B、 $\sin 40 °$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 函数 $f (x) = 4 sin (2 x + \frac{π}{4})$ 图象的对称轴方程为（）

A、 $x = \frac{3 π}{8} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$ B、 $x = \frac{π}{8} + k π (k \in Z)$ C、 $x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$ D、 $x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1, x ⩽ 2 \\ 2^{x} - 3^{a}, x > 2 \end{array}$ ，若 $f (f (2)) > - 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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5. 若 $\cos (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} - {log}_{2} x - 6$ ，用二分法求 $f (x)$ 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 2.5)$ C、 $(2.5, 3)$ D、 $(3, 3.5)$

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7. 已知函数 $f (x)$ 满足： $x \geq 4$ ，则 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ ；当 $x < 4$ 时 $f (x) = f (x + 1)$ ，则 $f (2 + {log}_{2} 3) =$ （）

A、 $\frac{1}{24}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{3}{8}$

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8. 已知函数 $f (x) = a^{x + 5} + 4$ ( $a > 0$ ， $a \neq 1$ )恒过定点 $M (m ， n)$ ，则函数 $g (x) = m + n^{x}$ 的图像不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9. 为了得到函数 $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象，只需将 $y = 2 cos x$ 图象上所有点（）

A、纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再向左平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度 D、纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再向右平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度

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10. 已知函数 $f (x)$ 是在 $R$ 上的偶函数，且在 $[0, + \infty)$ 上单调递减，令 $a = f (\frac{1}{2} {log}_{\sqrt{3}} 2)$ ， $b = f ({log}_{9} \frac{1}{3})$ ， $c = f (2^{- 2})$ 则 $a, b, c$ 满足的关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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11. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3³⁶¹ ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为10⁸⁰.则下列各数中与 $\frac{M}{N}$ 最接近的是（）
（参考数据：lg3≈0.48）

A、10³³ B、10⁵³ C、10⁷³ D、10⁹³

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12. 设 $x, y$ 均为正实数，且 $\frac{3}{2 + x} + \frac{3}{2 + y} = 1$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、8 B、16 C、9 D、6

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二、填空题

13. 函数 $y = - tan (\frac{π}{4} - 2 x)$ 的定义域为.

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14. 已知幂函数 $y = (m^{2} - 3 m - 3) x^{m}$ 的图象不过原点，则实数 $m =$ .

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15. 若函数 $f (x) = {log}_{a} x (0 < a < 1)$ 在区间 $[a, 2 a]$ 的最大值与最小值之和为 $1$ ，则 $a =$ .

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16. 若 $a$ 是函数 $f_{1} (x) = x + ln x - 6$ 的一个零点， $b$ 是函数 $f_{2} (x) = x + e^{x} - 6$ 的一个零点，已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 x - a - b$ ，则关于 $x$ 的方程 $f (x) = x$ 的解集是.

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x ∣ 3 < 3^{x} \leq 27}$ ， $B = {x ∣ \frac{x - a}{x - a - 2} > 0}$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in$ A”的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知 $sin α = \frac{3}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $tan (π - β) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $\frac{sin α + 2 cos α}{sin α - cos α}$ 和 $tan β$ 的值；

(2)、求 $tan (α - 2 β)$ 的值.

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19. 已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $2 x + 8 y - x y = 0$ ，求

(1)、 $x y$ 的最小值；

(2)、 $x + y$ 的最小值．

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20. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + 4 {sin}^{2} x ， x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求 $g (x)$ 的值域.

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21. 设函数 $f (x) = \log_{a} (x + 1) (a x + 1)$ .

(1)、求出函数的定义域；

(2)、若当 $a > 1$ 时， $f (x)$ 在 $[- \frac{5}{2}, - \frac{3}{2}]$ 上恒正，求出 $a$ 的取值范围；

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22. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x^{2} + 1 ， x < 0 \\ e^{- x} ， x \geq 0 \end{array}$ 且 $f (0) + f (- 1) = 3$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若对任意的 $x \in [- 1 ， 1]$ ，不等式 $f ((b + 1) x - 2 b + 1) \geq {(f (x^{2}))}^{b}$ 恒成立，求正数 $b$ 的取值范围.

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