山西省2021届高考文数名校联考押题卷（三模）试卷

试卷更新日期：2021-06-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1}, B = {x ∣ x^{2} + 3 x - 4 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0}$ B、 ${- 2, - 1}$ C、 ${- 1, 0}$ D、 ${- 2, - 1, 0, 1}$

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2. 已知复数z满足 $z (\sqrt{3} + 3 i) = 3 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} i$ B、 $- \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} i$ C、 $\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} i$ D、 $- \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} i$

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3. 设椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与C交于A ， B两点，若 $△ A B F_{1}$ 为等边三角形，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为2，将它重新制作成一个体积与高不变的圆锥，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $6 \sqrt{3} π$ B、 $8 \sqrt{3} π$ C、8π D、 $4 \sqrt{2} π$

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5. 已知△ABC的重心为O ，则向量 $\vec{B O} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $- \frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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6. 某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：

第 $x$ 天

1

2

3

4

5

使用人数( $y$ )

15

173

457

842

1333

由表中数据可得y关于x的回归方程为 $\hat{y} = 55 x^{2} + m$ ，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差为（）

A、-5 B、-6 C、3 D、2

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7. 已知 $a \in R$ ，设函数 $f (x) = a x - \ln x + 1$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线为l ，则l过定点（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(1 ， 0)$ C、 $(1 ， a + 1)$ D、 $(e ， 1)$

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8. 若函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 满足 $f (\frac{2 π}{3} - x) = f (x)$ ，且 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $- \frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $- \frac{π}{6}$

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9. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 的四个面都为直角三角形， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = \sqrt{2} ， A C = B C = 1$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点都在球O的球面上，现在球O内任取一点，则该点取自三棱锥 $P - A B C$ 内的概率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{24 π}$ B、 $\frac{\sqrt{2} π}{16}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{12 π}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{8 π}$

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10. 已知点A（1，m），B（2，n）是角 $α$ 的终边上的两点，若 $m - n = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{\sin 2 α - \cos^{2} α}{1 + \cos 2 α}$ 的值为（）

A、 $- \frac{5}{3}$ B、 $- \frac{5}{6}$ C、 $- \frac{1}{6}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = \cos x - \sqrt{x}, g (x) = \ln x$ ，用 $\max {a, b}$ 表示a ， b中的最大值，则函数 $h (x) = \max {f (x), g (x)} (x > 0)$ 的零点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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12. 分子间作用力存在于分子与分子之间或惰性气体原子之间，在一定条件下两个惰性气体原子接近，则彼此因静电力作用产生极化，从而导致有相互作用力，称为范德瓦尔斯作用．今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U ，且 $U = k_{0} q^{2} (\frac{1}{R} + \frac{1}{R + x_{1} - x_{2}} - \frac{1}{R + x_{1}} - \frac{1}{R - x_{2}})$ ，其中 $k_{0}$ 为静电常量， $x_{1}, x_{2}$ 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移，且 $x_{1} \cdot x_{2}$ 的绝对值远小于 $R$ ．当x的值接近于0时，在近似计算中 ${(1 + x)}^{- 1} \approx 1 - x + x^{2}$ ，则U的近似值为（）

A、 $- \frac{2 k_{0} q^{2} x_{1} x_{2}}{R^{3}}$ B、 $- \frac{k_{0} q^{2} x_{1} x_{2}}{R^{3}}$ C、 $\frac{k_{0} q^{2} x_{1} x_{2}}{R^{3}}$ D、 $\frac{2 k_{0} q^{2} x_{1} x_{2}}{R^{3}}$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 4, x \leq 0 \\ x^{2}, x > 0 \end{array}$ ，若 $f (m) = 4$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $O_{2} : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 4$ ，过点P（x ， y）分别作 $O_{1}, O_{2}$ 的切线PA ， PB ，其中A ， B为切点，且 $| P A | = | P B |$ ，则动点P的轨迹方程为．

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15. 《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与弩马发长安至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里．日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．”意思是：今有良马与弩马从长安出发到齐国，齐国与长安相距3000里，良马第一日走193里，以后逐日增加13里，弩马第一日走97里，以后逐日减少0.5里．则8天后两马之间的距离为里．

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16. 高一某通用技术学习小组计划设计一个工艺品，该工艺品的剖面图如图所示，其中四边形 $A B C D$ 为等腰梯形，且 $A B / / C D$ ， $B C = C D ， ∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $A B$ 为圆O的弦，在设计过程中，他们发现，若圆O大小确定，OC最长的时候，工艺品比较美观，则此时圆O的半径与BC长度的比值为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是递增等比数列，且 $a_{3} = 4, a_{2} + a_{4} = 10, S_{n}$ 为等差数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，且 $b_{1} = a_{1}, S_{2} = a_{2} + 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 4 ， A A_{1} = 3 \sqrt{2} ， M ， N$ 分别是棱 $A_{1} C_{1} ， A C$ 的中点，点E在侧棱 $A_{1} A$ 上，且 $A_{1} E = 2 E A$ ．

(1)、求证：平面MEB⊥平面BEN；

(2)、求三棱锥C-BEM的体积．

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19. 我国是世界最大的棉花消费国、第二大棉花生产国，其中，新疆棉产量约占国内产量的87%，消费量约占国内消费量的67%．新疆棉的品质高：纤维柔长，洁白光泽，弹性良好，各项质量指标均超国家标准．尤其是被授予“中国彩棉之乡”称号的新疆建设兵团一四八团生产的天然彩棉，株型紧凑，吐絮集中，品质优良，色泽纯正、艳丽，手感柔软，适合中高档纺织．新疆彩棉根据色泽、手感、纤维长度等评分指标打分，得分在区间 $(0 ， 25] ， (25 ， 50] ， (50 ， 75] ， (75 ， 100]$ 内分别对应四级、三级、二级、一级．某经销商从采购的新蚯彩棉中随机抽取20包（每包1kg），得分数据如图．

(1)、试统计各等级数量，并估计各等级在该批彩棉中所占比例；

(2)、用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售：
方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨；

方案2：分等级卖出，不同等级的新疆彩棉售价如下表所示：

等级

一级

二级

三级

四级

售价（万元/吨）

2.2

1.8

1.6

1.4

若从经销商老板的角度考虑，采用哪种方案较好？并说明理由．

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20. 已知直线 $l ： y = k x + 2$ 与抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 相交于A ， B两点，当 $k = 1$ 时，在C上有且只有三个点到 $l$ 的距离为 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ ．

(1)、求C的方程：

(2)、若点P在直线y=-2上，且BP与y轴平行，求证：直线AP恒过定点．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 有两个零点 $x_{0}$ 和 $x_{0} + t (t > 0)$ ．

(1)、求实数a的取值范围；

(2)、证明： $x_{0} (t + 2) < 2$ ．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1} ： x^{2} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 8 ρ \cos θ + 15 = 0$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的参数方程与 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设点A ， B分别为曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 上的动点，求 $| A B |$ 的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - m | + 2 | x + 3 m |$ ．

(1)、若 $m = \frac{1}{2}$ ，试求不等式 $f (x) ⩽ 8$ 的解集；

(2)、若 $f (x) ⩾ 7$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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等级	一级	二级	三级	四级
售价（万元/吨）	2.2	1.8	1.6	1.4

第 $x$ 天	1	2	3	4	5
使用人数( $y$ )	15	173	457	842	1333