河南省焦作市2021届高三文数四模试卷

试卷更新日期：2021-06-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z = \frac{2021 - i}{1 + 2021 i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $i$ B、-2021 C、 $2021 i$ D、-1

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2. 已知集合 $A = {x | | x | < 1}$ ， $B = {x | \log_{2} x \leq 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(- 1, 4]$ D、 $(0, 4]$

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3. 某学校研究性学习小组对该校高一学生每周上网时长情况进行调查，从高一的全体2000名学生中随机抽取了100名学生进行问卷调查，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）

A、每周上网时长的中位数位于[5，7)内 B、全年级学生每周上网时长低于11小时的人数约为1640 C、每周上网时长的众数位于[7，9)内 D、每周上网时长的平均数位于[5，7)内

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4. 下列叙述中正确的是（）

A、命题“∃x₀∈R，2021x₀²-2x₀+1≤0”的否定是“∃x₀∈R，2021x₀²-2x+1>0” B、“a²=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0垂直”的充分而不必要条件 C、命题“若m²+n²=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m²+n²≠0，则m≠0且n≠0” D、若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假

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5. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} \ln | x | \cos 3 x$ 的部分图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若 $tan (\frac{9 π}{4} - α) = - \frac{3}{5}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{15}{17}$ B、 $- \frac{2}{17}$ C、 $\frac{2}{17}$ D、 $\frac{15}{17}$

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7. 人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则可归结为4条：①X→X；②O→X；X→AB；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者).已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照规则，若受血者为A型血，则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为（）

A、0.27 B、0.31 C、0.42 D、0.69

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{x - 1} - 1 ， x ⩾ 1 \\ - 1 - \log_{3} (x + 5) ， x < 1 \end{array}$ ，且 $f (m) = - 2$ ，则 $f (6 + m) =$ （）

A、﹣16 B、16 C、26 D、27

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9. 如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、6 B、4 C、3 D、2

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10. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $[- π ， π]$ 上的大致图象如图所示，则 $f (x)$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{3 π}{2}$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{4}$ D、 $\frac{7 π}{6}$

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11. 已知点 $F$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点，过 $F$ 作一条渐近线的垂线，垂足为 $A$ ，若 $△ O A F$ (点 $O$ 为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率 $e \in [\sqrt{17} ， \sqrt{65}]$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1 ， 2]$ B、 $[1 ， \sqrt{2}]$ C、 $[\frac{\sqrt{2}}{4} ， 1]$ D、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1]$

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12. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = - f (x)$ ，且对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty), x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$ $> 2, f (1) = 2020$ ，则满足不等式 $f (x - 2020) > 2 (x - 1011)$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(2021, + \infty)$ B、 $(2020, + \infty)$ C、 $(1011, + \infty)$ D、 $(1010, + \infty)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ， $\vec{a} // (2 \vec{a} + k \vec{b})$ ，则 $k =$ ．

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14. 若抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点M到焦点F的距离与到y轴的距离之差为2，则 $p =$ ．

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15. 棱长为2的正四面体ABCD的外接球的球心为O，过点A，B，O的平面截四面体ABCD所得截面的面积为.

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16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A=60°，b+c=6，且△ABC的面积为 $\sqrt{3}$ ，则△ABC的内切圆的半径为.

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三、解答题

17. 已知正项数列{a_n}满足 $a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1} (n \geq 2)$ ，且 $a_{2} = 2 ， a_{5} = 4 a_{3}$ .

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = n {(\frac{a_{n + 1}}{a_{n}})}^{n - 1}$ ，求{b_n}的前n项和T_n.

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18. 为弘扬劳动精神，树立学生“劳动最美，劳动最光荣”的观念，某校持续开展“家庭劳动大比拼”活动.某班统计了本班同学1~7月份的人均月劳动时间(单位：小时)，并建立了人均月劳动时间y关于月份x的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + 4$ ，y与x的原始数据如表所示：

月份x

1

2

3

4

5

6

7

人均月劳动时间y

8

9

m

12

n

19

22

由于某些原因导致部分数据丢失，但已知 $\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 452$ .

参考公式：在线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + a$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， a = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、求m，n的值；

(2)、求该班6月份人均月劳动时间数据的残差值(残差即样本数据与预测值之差).

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19. 如图所示，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，平面ACC₁A₁⊥平面ABC，AA₁⊥AC，D，D₁分别为AC，A₁C₁的中点且AD=AA₁ ， DB⊥AC.

(1)、在棱AA₁上找一点M，使得 $D_{1} M / /$ 平面 $D B C_{1}$ ，并说明理由；

(2)、若 $2 \vec{A E} = \vec{E A_{1}} ， \vec{A F} = - \frac{1}{3} \vec{B A}$ ，证明： $E F ⊥ A D_{1}$ .

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，其下顶点为点 $A$ ．若斜率存在的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $P ， Q$ 两点，且不过点 $A$ ，直线 $A P ， A Q$ 分别与 $x$ 轴交于 $M ， N$ 两点．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程．

(2)、当 $M ， N$ 的横坐标的乘积是 $\frac{4}{3}$ 时，试探究直线 $l$ 是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + x + ln x .$

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对于任意的 $x \in (0 ， + \infty) ， f (x) \leq m x e^{x} - x^{2} - 1$ 恒成立，求实数 $m$ 的最小值.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 3 t \\ y = 1 - 4 t \end{array}$ （ $t$ 为参数）．以坐标原点为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} (4 - 3 \sin^{2} θ) = 4$ ．

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、设点M在直线 $l$ 上，点N在曲线C上，求 $| M N |$ 的最小值．

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23. 设函数 $f (x) = | x - 1 | + | 3 x + 1 |$ ．

(1)、求 $f (x) \geq 2 x - 1$ 的解集；

(2)、若不等式 $3 f (x) \geq 3 m^{2} - m$ 对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．

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月份x	1	2	3	4	5	6	7
人均月劳动时间y	8	9	m	12	n	19	22