海南省2021届高三下学期数学体艺生模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-06-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 3 ， 5 ， 7}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{3} B、{5} C、 ${3 ， 5}$ D、 $S_{n}$

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2. 复数 $z = i (i - 1)$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 设 $a, b$ 为实数，则“ $a > b > 0$ ”是“ $π^{a} > π^{b}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列函数中，既是奇函数又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = - x^{2} + 2$ B、 $y = 2^{- x}$ C、 $y = \ln x$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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5. 如图是某校高三某班甲、乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，则下列判断正确的是（）

A、 ${\bar{x}}_{甲} > {\bar{x}}_{乙}$ ，甲比乙成绩稳定 B、 ${\bar{x}}_{甲} < {\bar{x}}_{乙}$ ，乙比甲成绩稳定 C、 ${\bar{x}}_{甲} = {\bar{x}}_{乙}$ ，甲比乙成绩稳定 D、 ${\bar{x}}_{甲} = {\bar{x}}_{乙}$ ，乙比甲成绩稳定

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6. 已知三棱锥 $S - A B C$ 所有顶点都在球 $O$ 的球面上，且 $S C ⊥$ 平面 $A B C$ ，若 $S C = A B = A C = 1$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{5 π}{2}$ B、5π C、4π D、 $\frac{5 π}{3}$

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7. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）

A、y=lnx B、 $y = x^{2} + 1$ C、y=sinx D、y=cosx

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8. 若等比数列 ${a_{n}}$ 各项都是正数， $a_{1} = 3$ ， $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 21$ ，则 $a_{4} + a_{5} + a_{6}$ 的值为（）

A、42 B、63 C、84 D、168

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二、多选题

9. 学校为了解新课程标准中提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示.将阅读时间不低于 $30 \min$ 的学生称为阅读霸，则下列结果正确的是（）

A、抽样表明，该校约有一半学生为阅读霸 B、抽取的100名学生中有50名学生为阅读霸 C、该校学生中有50名学生不是阅读霸 D、抽样表明，该校有50名学生为阅读霸

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10. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = 4$ ， $B C = 2$ ，M、N分别为棱 $C_{1} D_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、A、M、N、B四点共面 B、平面 $A D M ⊥$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$ C、 $B_{1} M$ 与BN所成角 $60 °$ D、 $B N / /$ 平面ADM

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 5, 0)$ ， $F_{2} (5, 0)$ ，则能使双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的是（）

A、离心率为 $\frac{5}{4}$ B、双曲线过点 $(5, \frac{9}{4})$ C、渐近线方程为 $3 x \pm 4 y = 0$ D、实轴长为4

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12. 将函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos (2 x + \frac{π}{3}) - 1$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列关于函数 $g (x)$ 的说法正确的是（）

A、最大值为 $\sqrt{3}$ ，图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 B、图象关于y轴对称 C、最小正周期为 $π$ D、图象关于点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 对称

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三、填空题

13. 曲线 $C$ ： $f (x) = \ln x + x^{2}$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为．

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14. 已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} =$ .

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15. ${(x - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{12}$ 展开式中的常数项为.

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16. 若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值是，当且仅当时，取得最值.

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四、解答题

17. 在① $a c = \sqrt{3}$ ，② $c sin A = 3$ ，③ $c = \sqrt{3} b$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $c$ 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 $△ A B C$ ，它的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $sin A = \sqrt{3} sin B$ ， $C = \frac{π}{6}$ ， ▲ ?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 已知公比大于 $1$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{4} = 20, a_{3} = 8$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $a_{1} a_{2} - a_{2} a_{3} + \dots + {(- 1)}^{n - 1} a_{n} a_{n + 1}$ .

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19. 如图，在三棱锥 $V - A B C$ 中，平面 $V A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $Δ A B C$ 和 $Δ V A C$ 均是等腰直角三角形， $A B = B C$ ， $A C = C V = 2$ ， $M$ 、 $N$ 分别为 $V A$ 、 $V B$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $A B //$ 平面 $C M N$ ；

（Ⅱ）求证： $A B ⊥ V C$ ；

（Ⅲ）求直线 $V B$ 与平面 $C M N$ 所成角的正弦值.

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20. 目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.

	短潜伏者	长潜伏者	合计
60岁及以上	90
60岁以下			140
合计			300

附表及公式：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

(1)、求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；

(2)、为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关：

(3)、研究发现，有5种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是500元，设所需要的试验费用为X，求X的分布列与数学期望.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，右焦点为 $F$ ，点 $A (a ， 0)$ ，且 $| A F | = 1$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ (不与 $x$ 轴重合)交椭圆 $C$ 于点 $M$ ､ $N$ ，直线 $M A$ ､ $N A$ 分别与直线 $x = 4$ 交于点 $P$ ､ $Q$ ，求 $∠ P F Q$ 的大小.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} + 2$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当0<a<3时，记 $f (x)$ 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求 $M - m$ 的取值范围.

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