甘肃省2021届高三下学期理数二模试卷

试卷更新日期:2021-06-16 类型:高考模拟

一、单选题

  • 1. 已知集合 A={x|x1x+20} ,集合 B={2101} ,则 AB= (     )
    A、{11} B、{210} C、{101} D、{2101}
  • 2. 已知复数 z 满足 z(12i)=3+i3 ,则复数 z 的虚部为(    )
    A、i B、i C、-1 D、1
  • 3. 已知函数 f(x)=sinx+ex1ex+1 ,则函数 f(x) 的图象为(    )
    A、 B、 C、 D、
  • 4. 双曲线 x2my2n=1 ( m>0n>0 )的渐近线方程为 y=±22x ,实轴长为2,则 mn 为(    )
    A、-1 B、12 C、12 D、122
  • 5. 如图,在棱长为2的正方体 ABCDA1B1C1D1 中, EFG 分别是棱 ABBCCC1 的中点, P 是底面 ABCD 内一动点,若直线 D1P 与平面 EFG 不存在公共点,则三角形 PBB1 的面积的最小值为(   )

    A、22 B、1 C、2 D、2
  • 6. 某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导,推进绿色发展,现要订购一批苗木,苗木长度与售价如下表:

    苗木长度 x (厘米)

    38

    48

    58

    68

    78

    88

    售价 y (元)

    16.8

    18.8

    20.8

    22.8

    24

    25.8

    由表可知,苗木长度 x (厘米)与售价 y (元)之间存在线性相关关系,回归方程为 y^=0.2x+a^ ,则当苗木长度为150厘米时,售价大约为(    )

    A、33.3 B、35.5 C、38.9 D、41.5
  • 7. 数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,若点 (n,Sn) 在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,则 a2021= (    )
    A、2021 B、4041 C、4042 D、4043
  • 8. 已知 sin(α+β)=1αβ 均为锐角,且 tanα=22 ,则 cosβ= (    )
    A、33 B、22 C、32 D、63
  • 9. 中国古代制定乐律的生成方法是最早见于《管子·地员篇》的三分损益法,三分损益包含两个含义:三分损一和三分益一.根据某一特定的弦,去其 13 ,即三分损一,可得出该弦音的上方五度音;将该弦增长 13 ,即三分益一,可得出该弦音的下方四度音.中国古代的五声音阶:宫、徵(zhǐ),商、羽、角(jué),就是按三分损一和三分益一的顺序交替,连续使用产生的.若五音中的“宫”的律数为81,请根据上述律数演算法推算出“羽”的律数为(    )
    A、72 B、48 C、54 D、64
  • 10. 数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn=2an1 ,则 Snan= (    )
    A、22n B、221n C、22n D、22n1
  • 11. 过抛物线 C:y2=4x 焦点 F 的直线 l 与抛物线交与 AB 两点,过 AB 两点分别作抛物线 C 准线的垂线,垂足分别为 MN ,若线段 MN 的中点为 P ,且线段 FP 的长为4,则直线 l 的方程为(    )
    A、x+3y1=0 B、x3y1=0 C、x+3y1=0x3y1=0 D、3xy3=03x+y3=0
  • 12. 已知函数 f(x)=xlnxg(x)=x2+ax (aR) ,若经过点 A(01) 存在一条直线 lf(x) 图象和 g(x) 图象都相切,则 a= (    )
    A、0 B、-1 C、3 D、-1或3

二、填空题

  • 13. 平面内单位向量 abc 满足 a+b+c=0 ,则 ab =.
  • 14. 若实数 xy 满足约束条件 {xy+10x+y+10x10 ,则 z=ax+by(a>b>0) 取最大值4时, 2a+1b 的最小值为.
  • 15. 孙子定理(又称中国剩余定理)是中国古代求解一次同余式组的方法.问题最早可见于南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题“物不知数”问题:有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?它的基本解法之一是:列出用3整除余2的整数:2,5,8,11,14,17,20,23…,用5整除余3的整数:3,8,13,18,23,…,用7整除余2的整数:2,9,16,23…,则23就是“问物几何?”中“物”的最少件数,“物”的所有件数可用 105n+23(nN) 表示.试问:一个数被3除余1,被4除少1,被5除余4,则这个数最小是.
  • 16. 三棱锥 PABC 的底面是边长为3的正三角形,面 PAB 垂直底面 ABC ,且 PA=2PB ,则三棱锥 PABC 体积的最大值是.

三、解答题

  • 17. 如图,在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为2的菱形,且 AA1=3EF 分别为 CC1BD1 的中点.

    (1)、证明: EF 平面 BB1D1D
    (2)、若 DAB=60° ,求二面角 A1BED1 的余弦值.
  • 18. 某校为了解高三学生周末在家学习情况,随机抽取高三年级甲、乙两班学生进行网络问卷调查,统计了甲、乙两班各40人每天的学习时间(单位:小时),并将样本数据分成 [34)[45)[56)[67)[78] 五组,整理得到如下频率分布直方图:

    (1)、将学习时间不少于6小时和少于6小时的学生数填入下面的 2×2 列联表:

    不少于6小时

    少于6小时

    总计

    甲班

    乙班

    总计

    能以95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关吗?为什么?

    (2)、此次问卷调查甲班学生的学习时间大致满足 ξN(μ0.36) ,其中 μ 等于甲班学生学习时间的平均数,求甲班学生学习时间在区间 (6.26.8] 的概率.

    参考公式: K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)n=a+b+c+d .

    参考数据①:

    P(K2k0)

    0.050

    0.010

    0.001

    k0

    3.841

    6.635

    10.828

    ②若 XN(μσ2) ,则 P(μσ<Xμ+σ)=0.6827P(μ2σ<Xμ+2σ)=0.9545 .

  • 19. 已知圆 O:x2+y2=b2 经过椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的右焦点 F2 ,且经过点 F2 作圆 O 的切线被椭圆 C 截得的弦长为 2 .
    (1)、求椭圆 C 的方程;
    (2)、若点 AB 是椭圆 C 上异于短轴端点的两点,点 M 满足 OM=OA+OB ,且 OM2+AB2=6 ,试确定直线 OAOB 斜率之积是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
  • 20. ABC 的内角 ABC 的对边分别是 abc ,且 3acsinB=3bcosC .
    (1)、求角 B 的大小;
    (2)、若 b=3DAC 边上一点, BD=2 ,且________,求 ABC 的面积.(从① BDB 的平分线,② DAC 的中点,这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答)
  • 21. 已知函数 f(x)=x2axxlnxaR .
    (1)、若 f(x)[1+) 单调递增,求 a 的取值范围;
    (2)、若 nN+ ,求证: (1+13)(1+132)(1+133)(1+13n)<e .
  • 22. 在直角坐标系 xOy 中,点 A 是曲线 C1(x2)2+y2=4 上的动点,满足 2OB=OA 的点 B 的轨迹是 C2 .
    (1)、以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线 C1C2 的极坐标方程;
    (2)、直线 l 的参数方程是 {x=1+tcosαy=tsinα ( t 为参数),点 P 的直角坐标是 (1,0) ,若直线 l 与曲线 C2 交于 MN 两点,当线段 |PM||MN||PM| 成等比数列时,求 cosα 的值.
  • 23. 已知函数 f(x)=|x2|+2|x+1|xR .
    (1)、求函数 f(x) 的图象与直线 y=6 围成区域的面积;
    (2)、若对于 m>0n>0 ,且 m+n=4 时,不等式 f(x)mn 恒成立,求实数 x 的取值范围.