内蒙古自治区赤峰市松山区四高2020-2021学年高二下学期理数6月第二次月考试卷

试卷更新日期：2021-06-16 类型：月考试卷

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一、单选题，本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 直线 $l_{1}$ ： $a x + y - 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $(a - 1) x - 2 y + 1 = 0$ ，则“ $a = 2$ ”是“ $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 若 $\frac{8 + a i}{b - 3 i} = 1 + 2 i$ (其中 $a, b \in R$ )，则 $a =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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3. 执行如图所示的程序框图，若输出的S是30，则判断框内的条件可以是（）

A、 $n \geq 6$ B、 $n \geq 8$ C、 $n > 10$ D、 $n \geq 10$

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4. 某班30人的数学期中考试成绩的茎叶图如下，若将成绩按由低到高编号，再用系统抽样方法从中抽取6人，若113分被抽到，则成绩在 $[122 ， 138]$ 上被抽到的人数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩 $ξ ~ N (110, σ^{2})$ ，若 $P (100 \leq ξ \leq 110) = 0.35$ ，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）

A、10 B、9 C、8 D、7

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6. 甲乙两人约定某日一起到火车站坐大巴车到某地旅游．两人做如下约定：①两人都在上午8：00~10：00到达车站；②若一人先到达车站时另一人还未到达，先到者最多等一班车．已知车站到旅游目的地的车上午7：00首发，然后每隔半小时发一班．若一定有座位，则他们坐同一班车去旅游的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{8}$

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7. 若 $x^{4} + {(x + 1)}^{7} = a_{0} + a_{1} (x + 2)$ $+ a_{2} {(x + 2)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{7} {(x + 2)}^{7}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、27 B、35 C、-8 D、-43

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8. 某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的， $A$ 学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为 $X$ 分， $B$ 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为 $Y$ 分，则 $D (Y) - D (X)$ 的值为

A、 $\frac{125}{12}$ B、 $\frac{35}{12}$ C、 $\frac{27}{4}$ D、 $\frac{23}{4}$

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9. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形，其中 $A D = 1$ ， $A B = 2$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = P D$ ，且直线 $P B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球表面积为（　　）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $\frac{76 π}{3}$ C、 $\frac{64 π}{3}$ D、 $\frac{19 π}{3}$

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10. 中国在2020年11月1日零时开始开展第七次全国人口普查，甲、乙等6名志愿者参加4个不同社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排1名志愿者，1名志愿者只去一个社区，且甲、乙不在同一社区，则不同的安排方法共有（）

A、1240种 B、1320种 C、1248种 D、1224种

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11. 已知点F为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点，过点F的直线l与曲线C的一条渐近线垂直，垂足为N，与C的另一条渐近线的交点为M，若 $\vec{M N} = 3 \vec{F N}$ ，则双曲线C的离心率e的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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12. 已知函数 $f (x) = 3 \ln x - k x^{2} + 6 x$ ，若 $f (x) > 0$ 的解集为 $(m ， n)$ ，且 $(m ， n)$ 中只有两个整数，则（）

A、 $k$ 无最值 B、 $k$ 的最小值为 $\frac{12 + 3 \ln 2}{4}$ C、 $k$ 的最大值为 $\frac{12 + 3 \ln 2}{4}$ D、 $k$ 的最小值为 $\frac{6 + \ln 3}{3}$

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二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的年广告支出x（单位：万元）与年销售额y（单位：万元）进行了初步统计，如下图所示：

x

2

3

4

5

6

y

2.2

3.8

5.5

6.5

p

经测算，年广告支出x与年销售额y满足线性回归方程 $\hat{y} = 1.23 x + 0.08$ ，则p的值为.

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14. 甲、乙等4人参加 $4 \times 100$ 米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是.

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15. 已知锐角 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，延长AB到点D，使 $\sin ∠ B C D = \frac{\sqrt{39}}{26}$ ，则 $S_{△ B C D} =$ .

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16. 已知 $A (3, 0)$ ，若点 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上的任意一点，点 $Q$ 是圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 上任意一点，则 $\frac{{| P A |}^{2}}{| P Q |}$ 最小值是

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{3 n^{2} + n}{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B ， D C / / A B$ ， $P A = A D = D C = 1 ， A B = 2 ， E$ 为棱 $P B$ 上一点.

(1)、确定点E的位置，使得直线 $C E / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若二面角 $E - A C - P$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求直线 $A E$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值.

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19. 2017年8月27日~9月8日，第13届全运会在天津举行.4年后，第14届全运会将于2021年9月15日~27日在西安举行.为了宣传全运会，西安某大学在天津全运会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看天津全运会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：

收看

没收看

男生

60

20

女生

20

20

(1)、根据右表说明，能否有99%的把握认为，学生是否收看开幕式与性别有关？
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

$k_{0}$

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

(2)、现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2021年西安全运会志愿者宣传活动.若从这8人中随机选取2人到校广播站开展全运会比赛项目宣传介绍，
①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到一名男生一名女生的概率；

②记 $X$ 为入选的2人中的女生人数，求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望.

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20. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $M :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆上任意一点到 $F_{1}, F_{2}$ 的距离之和为 $4$ .

(1)、求椭圆 $M$ 的标准方程；

(2)、过 $F_{1}$ 的直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别交椭圆 $M$ 于 $A, C$ 和 $B, D$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，试求四边形 $A B C D$ 的面积S的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x - 2 t} - \ln x + 2$

(1)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点，求 $t$ 的值，并讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $t \leq 1$ 时，证明： $f (x) > 2.$

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四、[选修4-4坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为： ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} t, \\ y = \sqrt{1 - t^{2}} \end{array}$ ( $t$ 为参数)，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{6}) = \sqrt{3}$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、在极坐标系中，射线 $θ = \frac{π}{6}$ $(ρ \geq 0)$ 与曲线 $C_{1}$ 交于点 $A$ ，射线 $θ = \frac{π}{3}$ $(ρ \geq 0)$ 与曲线 $C_{2}$ 交于点 $B$ ，求 $△ A O B$ 的面积.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | - | x + 2 |$ .

(1)、求不等式f(x)≤2的解集M；

(2)、当x∈M时， $| f (x) | > a^{2} - a$ ，求实数a的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	p

	收看	没收看
男生	60	20
女生	20	20