黑龙江省宾县二高2020-2021学年高二下学期理数5月第二次月考试卷

试卷更新日期：2021-06-16 类型：月考试卷

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一、选择题：（本大题共12题，每题5分共60分。）

1. 函数 $y = x^{3} + x$ 的递增区间是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(- \infty, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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2. 用数学归纳法明: $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots \frac{1}{2 n} (n \in N^{*}) ，$ 当 $n = k + 1$ 时,等式左边应在 $n = k$ 的基础上加上（　　　　）

A、 $\frac{1}{2 k + 1}$ B、 $- \frac{1}{2 k + 2}$ C、 $\frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 2}$ D、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2}$

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3. 如果用1 N的力能将弹簧拉长1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为(　　)．

A、0.18 J B、0.26 J C、0.12 J D、0.28 J

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4. 反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
① $A + B + C = 90 ° + 90 ° + C > 180 °$ ，这与三角形内角和为180°相矛盾， $A = B = 90 °$ 不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角 $A 、 B 、 C$ 中有两个直角，不妨设 $A = B = 90 °$ ；正确顺序的序号为（）

A、①②③ B、③①② C、①③② D、②③①

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5. 设 $i$ 是虚数单位，若复数 $m + \frac{2 i}{1 - i}$ ( $m \in R$ )是纯虚数，则 $m$ 的值为（）

A、－3 B、3 C、1 D、－1

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6. 已知 $(3 + a i) (1 - i) = b - 2 i$ （ $a, b \in R$ ， $i$ 为虚数单位），则复数 $| a + b i | =$ （）

A、 $\sqrt{15}$ B、4 C、 $\sqrt{17}$ D、5

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7. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2}, x \in [0, 1] \\ 2 - x, x \in (1, 2] \end{array}$ ，则 $\int_{0}^{2} f (x) d x =$ （）．

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、不存在

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8. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为（）

A、30 B、20 C、10 D、6

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9. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）

A、12种 B、18种 C、24种 D、48种

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10. 如图，若向量 $\overset{⇀}{O Z}$ 对应的复数为z，则 $z + \frac{4}{z}$ 表示的复数为（）

A、1＋3i B、－3－i C、3－i D、3＋i

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11. 已知 $f (x)$ 是定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数，且 $f (1) = 1$ ，导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $f^{'} (x) < f (x)$ 恒成立，则不等式 $\frac{f (x)}{e^{x}} < \frac{1}{e}$ 的解集为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $[0 ， \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $(0 ， 1)$

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12. 2021年，河北新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心．八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援河北，共抗新型冠状病毒肺炎．北京某医院的甲、乙、丙、丁 $4$ 名医生到河北的 $A, B, C$ 三个灾区支援，若要求每个灾区至少安排 $1$ 名医生，则灾区 $A$ 恰好只有医生甲去支援的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 观察下列不等式： $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 2$ ， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{7} < 3$ ， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{15} < 4$ ，…，可归纳的一个不等式是 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots +$ $< n$ （ $n \in N^{*}$ 且 $n > 1$ ）．

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14. 有这样一段“三段论”推理，对于可导函数 $f (x)$ ，大前提：如果 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，那么 $x = x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的极值点；小前提：因为函数 $f (x) = x^{3}$ 在 $x = 0$ 处的导数值 $f^{'} (0) = 0$ ，结论：所以 $x = 0$ 是函数 $f (x) = x^{3}$ 的极值点．以上推理中错误的原因是错误（“大前提”，“小前提”，“结论”）．

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15. 从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是.

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16. 已知 $f (x)$ 在 $R$ 上连续可导， $f^{'} (x)$ 为其导函数，且 $f (x) = e^{x} + 2 f^{'} (0) \cdot x$ ，则 $f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为

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三、解答题：（17题10分，18-22每题12分，共70分）

17. 设 $a \geq b > 0$ ，用综合法证明： $a^{3} + b^{3} \geq a^{2} b + a b^{2}$ ．

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18. 用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于 $60^{°}$ .

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $2$ ，且 $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1 (n \in N_{+})$ .
（Ⅰ）写出数列 ${a_{n}}$ 的前 $4$ 项，并猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.

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20. 已知函数 $f (x)$ 为一次函数，若函数 $f (x)$ 的图象过点 $(0, 2)$ ，且 $\int_{0}^{2} f (x) d x = 6$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的表达式.

(2)、若函数 $g (x) = x^{2}$ ，求函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象围成图形的面积.

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21. 将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个编号为1，2，3，4的盒子中．

(1)、若每盒至多一球，则有多少种放法？

(2)、若恰好有一个空盒，则有多少种放法？

(3)、若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？

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22. 一盒中放有的黑球和白球，其中黑球4个，白球5个.

(1)、从盒中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率.

(2)、从盒中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.

(3)、从盒中不放回的每次摸一球，若取到白球则停止摸球，求取到第三次时停止摸球的概率.

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