广西河池市九校2020-2021学年高二下学期理数5月第二次联考试卷

试卷更新日期：2021-06-16 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若复数 $z_{1}, z_{2}$ 为共轭复数且 $z_{1} = 2 - i$ ，则复数 $z_{2}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知随机变量 $ξ$ 的分布列如表，则 $ξ$ 的标准差为（）

$ξ$

1

2

5

P

0.4

0.1

x

A、3.56 B、 $\sqrt{3.2}$ C、3.2 D、 $\sqrt{3.56}$

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3. 用反证法证明命题①：“已知 $p^{3} + q^{3} = 2$ ，求证： $p + q \leq 2$ ”时，可假设“ $p + q > 2$ ”；命题②：“若 $x^{2} = 4$ ，则 $x = - 2$ 或 $x = 2$ ”时，可假设“ $x \neq - 2$ 或 $x \neq 2$ ”．以下结论正确的是（）

A、①与②的假设都错误 B、①与②的假设都正确 C、①的假设正确，②的假设错误 D、①的假设错误，②的假设正确

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4. 函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} - \ln x$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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5. 甲乙丙三人从标号1至12的12个小球中各取4个小球，
甲说：我取得小球中有1号和3号

乙说：我取得小球中有6号和11号

丙说：我们三人所取小球标号之和相等

据此可判断丙所取小球中一定含有几号小球（）

A、10号和12号 B、8号和9号 C、2号和7号 D、4号和5号

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6. 若曲线 $f (x) = a x - \ln (x + 1)$ 在点 $(0 ， 0)$ 处的切线方程为 $y = 3 x$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 现有6位同学站成一排照相，甲乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（）

A、720 B、360 C、240 D、120

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8. 记I为虚数集，设 $a, b \in R, x, y \in I$ ，则下列类比所得的结论正确的是（）

A、由 $a \cdot b \in R$ ，类比得 $x \cdot y \in I$ B、由 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，类比得 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ C、由 $a^{2} \geq 0$ ，类比得 $x^{2} \geq 0$ D、由 $a + b > 0 \Rightarrow a > - b$ ，类比得 $x + y > 0 \Rightarrow x > - y$

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9. ${(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项是（）

A、-10 B、-20 C、10 D、20

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10. 如图，由曲线 $y = e^{x} - 2$ ，直线 $x = 0 ， x = 2$ 和x轴围成的封闭图形的面积是（）

A、 ${\int^{}}_{0}^{2} (e^{x} - 2) d x$ B、 $| {\int^{}}_{0}^{2} (e^{x} - 2) d x |$ C、 ${\int^{}}_{0}^{2} | e^{x} - 2 | d x$ D、 ${\int^{}}_{0}^{\ln 2} (2 - e^{x}) d x + {\int^{}}_{\ln 2}^{2} (e^{x} - 2) d x$

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11. 某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布 $N (110, 100)$ ，则分数位于区间 $(130, 150]$ 分的考生人数近似为（）
（已知若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ ）

A、1140 B、1075 C、2280 D、2150

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12. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \cos x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (x)$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知复数 $z (1 + 2 i) = 3 + 4 i$ ，其中i是虚数单位，则 $| \bar{z} | =$ ．

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14. 已知正数a ， b满足 $a + b = a b$ ，则 $a + 4 b$ 的最小值是．

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15. 有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是．

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16. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2}$ 在 $[2 ， 4]$ 上不是单调函数，则实数a的取值范围是．

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三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. （本小题满分10分）
在① $z < 0$ ，②z为虚数，③z为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．

已知复数： $z = m^{2} - 2 m - 8 + (m^{2} - 4) i (m \in R)$ ．

(1)、若 ▲ ，求实数m的值；

(2)、若复数 $z - m^{2} (1 + i) + 8$ 的模为 $2 \sqrt{5}$ ，求m的值．

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18. 设 ${(2 x - 1)}^{9} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{9} x^{9}$ ，求：

(1)、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{9}$ ；

(2)、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \cdot \cdot \cdot + 9 a_{9}$ .

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19. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + a \ln x$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，证明不等式 $f (x) + \frac{3}{2} < 0$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上无解；

(2)、若 $f (x)$ 有两个不同的极值点，求实数a的范围．

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20. 数列 ${a_{n}}$ 的前n项和记为 $S_{n}$ ，已知 $a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ ．

(1)、求 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ 的值，猜想 $S_{n}$ 的表达式；

(2)、请用数学归纳法证明你的猜想．

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21. 某项比赛中甲、乙两名选手将要进行决赛，比赛实行五局三胜制．已知每局比赛中必决出胜负，假设甲发球时甲获胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙发球时甲获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；

(2)、若第一局乙先发球，以后每局由负方发球，规定胜一局得3分，负一局得0分，记X为比赛结束时甲的总得分，求随机变量X的分布列和数学期望．

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x ， g (x) = a x + b$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $g (x)$ 的图象是 $f (x) = x \ln x$ 的图象的切线，求 $a + b$ 的最大值．

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$ξ$	1	2	5
P	0.4	0.1	x