安徽省名校2020-2021学年高二下学期理数5月第二次联考试卷

试卷更新日期：2021-06-16 类型：月考试卷

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一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．每小题的四个选项中，只有一项是正确的）

1. 已知集合 $A = {x | x \leq 1}, B = {- 1, 0, 2, 3}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${2, 3}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${x | x > - 1}$

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2. 已知复数x满足 $z = \frac{1 - 3 i}{2 - i}$ ，则复数z的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、-1 D、1

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3. 抛物线 $y = - 4 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, - 1)$ C、 $(0, - \frac{1}{16})$ D、 $(- \frac{1}{16}, 0)$

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4. 设曲线 $f (x) = a x \ln x + x^{2}$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线为 $3 x - y - 2 = 0$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、.2 C、1 D、 $\frac{1}{3}$

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5. 如图是某校调查高一年级文理分科男女生是否喜欢理科的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢理科的频率．假设参加调查的男生有600人，女生有400人，现从所有喜欢理科的同学中按分层抽样的方式抽取48人，则抽取的女生人数为（）

A、8 B、12 C、16 D、24

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6. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图像如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{3} x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{3} x - \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{3} x - \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{3} x + \frac{π}{3})$

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7. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，且 $f (x)$ 为奇函数，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (- 1 + Δ x) + f (1)}{- 2 Δ x} =$ （）

A、 $2 f^{'} (1)$ B、 $2 f^{'} (- 1)$ C、 $- \frac{1}{2} f^{'} (- 1)$ D、 $\frac{1}{2} f^{'} (1)$

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8. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m + 1}$ 的图像关于原点对称，则满足 ${(a + 1)}^{m} > {(3 - 2 a)}^{m}$ 成立的实数a的取值范围为（）

A、 $(- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ B、 $(- 2, - \frac{2}{3})$ C、 $(- 2, \frac{2}{3})$ D、 $(\frac{2}{3}, 4)$

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9. 设 $a = e^{2}, b = 2^{e}, c = \ln 32$ ，已知 $\ln 2 = 0.7, e \approx 2.71828$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $b > a > c$

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10. 已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2}), \cos β = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 且 $\sin (α - β) = \frac{\sqrt{15}}{5}$ 则 $\cos α$ 的值为（）

A、 $- \frac{4 \sqrt{5} - \sqrt{15}}{15}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5} - \sqrt{15}}{15}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15} - 3 \sqrt{5}}{15}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{15} - 3 \sqrt{5}}{15}$

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点O为下底面的中心，点E在棱 $B B_{1}$ 上运动，则下列四个结论：
① $O E ⊥ D E$ ；

②当点E运动到B处时， $O E / /$ 平面 $A C D_{1}$ ；

③四棱锥 $E - A_{1} A C C_{1}$ 的体积不变；

④ $A_{1} E + E C$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$ ；

其中正确结论的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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12. 过圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 内一点 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ 做直线交圆O于A ， B两点，过A ， B分别作圆的切线交于点P ，则点P的坐标满足方程（）

A、 $x + 2 y - 4 = 0$ B、 $x - 2 y + 4 = 0$ C、 $x - 2 y - 4 = 0$ D、 $x + 2 y + 4 = 0$

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二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 互相垂直， $\vec{m} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，则向量 $\vec{m}$ 的模为．

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14. 设各项为正的等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，且 $3 a_{2}$ ， $a_{1}$ ， $2 a_{3}$ 成等差数列，则 $a_{n} =$ ．

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15. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B ⊥$ 底面 $A B C ， △ A B C$ 是边长为2的正三角形， $P B = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为．

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16. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点，过点 $F_{1}$ 斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A ， B ．若点 $F_{2}$ 在线段 $A B$ 的垂直平分线上，则双曲线C的离心率为．

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17. 锐角 $△ A B C$ 中，a ， b ， c分别为角A ， B ， C的对边，已知 $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos B + \sin B \cos C$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $a = 2, c = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是各项为正的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{1} b_{2} = a_{1}^{5}, a_{4} = a_{1}^{2} = b_{1}, S_{2} = 8$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，且 $c_{n} = \frac{3 a_{n}}{b_{n}}$ ，求 $T_{n}$ ．

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19. 2020年初的新冠疫情对零售业造成严重冲击，随着疫情逐步得到控制，各地经济逐渐得到恢复，以下是某地一超市2020年6月某星期的营业收入统计情况．

星期：x

1

2

3

4

5

营业收入：y（单位；万元）

5

7.5

9

10.5

13

(1)、根据数据可知y与x之间存在较强线性关系，求出y关于x的线性回归方程；

(2)、该超市为鼓励员工努力工作，制定如下奖励方案：若当天营业收入达到或超过8万元，则当天上班的每一位员工可获得一个50元的红包，若当天营业收人达到或超过12万元，则当天上班的每一位员工可获得一个100元的红包．假设某员工这5天中上了3天班，每天上班的可能性都一样，求该员工5天中获得红包奖励不少于100元的概率．
附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i} - n \cdot \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \cdot {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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20. 如图，已知 $P - A B C D$ 是正四棱锥，其所有棱长均为2，过点P作 $P Q / / A B$ ，且 $P Q = 1$ ，连接 $Q B$ ， $Q C$ .

(1)、求证：平面 $Q B C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $B C Q$ 所成的锐二面角的余弦值．

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，且经过点 $(- 1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、过点 $F (1, 0)$ 斜率互为相反数的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交椭圆C于A ， B两点（A ， B在x轴同一侧）．求证：直线 $A B$ 过定点，并求定点的坐标．

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22. 已知函数 $f (x) = m^{2} \ln x + m x ， g (x) = e^{a x} - e x^{2}$ ．

(1)、当 $a \approx 0$ 时，求函数 $h (x) = f (x) + \frac{g (x)}{e}$ 的单调区间；

(2)、设 $x > 0$ 时，函数 $g (x)$ 的图象始终在x轴的上方，求实数a的取值范围．

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星期：x	1	2	3	4	5
营业收入：y（单位；万元）	5	7.5	9	10.5	13