广东省河源市2020-2021学年高二下学期数学5月月考试卷

试卷更新日期：2021-06-16 类型：月考试卷

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一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分）

1. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq - 1}$ ， $B = {y | y = - 2 x + a ， x \in A}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 5 ， - 4]$ B、 $[4 ， 5]$ C、 $[- 3 ， - 6]$ D、 $[3 ， 6]$

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, 2 S_{8} = S_{7} + S_{10}$ ，则 $S_{21} =$ （）

A、21 B、11 C、-21 D、0

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3. 在假期里，有5名同学去社区做防疫志愿者，根据需要，要安排这5名同学去甲、乙两个核酸检测点，每个检测点至少去2名同学，则不同的安排方法共有（）

A、10种 B、20种 C、24种 D、30种

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4. 已知 $\cos (θ - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $\sin (2 θ + \frac{3 π}{14}) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $- \frac{5}{9}$

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5. 已知空间中不过同一点的两条直线 $m$ ， $n$ 及平面 $α$ ，则“ $m$ ， $n$ 与平面 $α$ 所成的角相同”是“ $m // n$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与直线 $y = - \sqrt{2} x$ 无交点，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(1 ， \sqrt{3}]$ B、 $[\sqrt{3} ， + \infty)$ C、 $(1 ， \sqrt{5}]$ D、 $[\sqrt{5} ， + \infty)$

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7. 已知函数 $f (x) = x^{2} - x^{- 2}$ （）

A、是奇函数， $(0 ， + \infty)$ 单调递增 B、是奇函数， $(0 ， + \infty)$ 单调递减 C、是偶函数， $(0 ， + \infty)$ 单调递减 D、是偶函数， $(0 ， + \infty)$ 单调递增

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8. 已知奇函数 $y = f (x)$ 对任意的 $x \in R$ 都满足 $f (x) + f (x + π) = 0$ ，且 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增，若 $a = \sin (- 3) \cdot f (- 3)$ ， $b = \sin (e^{\ln \sqrt{2}}) \cdot f (e^{\ln \sqrt{2}})$ ， $c = \sin (2^{0.6}) \cdot f (2^{0.6})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a > c > b$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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二、多选题（共4个小题，全对得5分，部分对得2分，共20分）

9. 下列命题正确的（）

A、若复数 $z = (1 - i) (2 - i)$ ，则 $| z | = \sqrt{10}$ B、若 $z_{1} = 2 - i$ ， $z_{2} = 1 - 3 i$ ，则复数 $z_{1} - z_{2}$ 的虚部是 $2 i$ C、若 $| z - 1 | = 2$ ，则 $| z - 1 - 3 i |$ 的最小值为1 D、已知 $k \in R$ ，若关于x的方程 $x^{2} + (k + 2 i) x + 2 + k i = 0$ 有实数根，则实根必为 $x = \sqrt{2}$ ．

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10. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ B、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ C、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{7}$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin (\frac{π}{4} + \frac{x}{2}) \sin (\frac{π}{4} - \frac{x}{2}) - \sin (π + x)$ ，则有（）

A、 $f (\frac{π}{6}) \geq f (x)$ B、 $f (\frac{π}{6} + x) = f (\frac{π}{6} - x)$ C、 $(\frac{2 π}{3} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的对称中心 D、方程 $f (x) = \log_{2 π} x$ 有三个实根

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12. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{m + 4} + \frac{y^{2}}{m + 1} = 1$ ，过其左焦点且斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距的绝对值大于椭圆 $C$ 的短半轴的长，则以下结论正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的焦距为 $\sqrt{3}$ B、直线 $l$ 的方程为 $y = \frac{\sqrt{2}}{2} (x + \sqrt{3})$ C、 $m$ 的取值范围是 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ D、椭圆C的离心率可以为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）

13. 从某小区随机抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示，由此可估计该小区居民户用电量的平均值大约为度．

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14. 已知三棱锥 $A - B C D$ 内接于体积为 $\frac{16 π}{3}$ 的半球 $O$ ， $B D$ 为半球底面圆 $O$ 的直径，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，且 $A B = C D = 2 \sqrt{2}$ ，则平面 $A C D$ 截半球 $O$ 所得截面面积的最小值为.

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15. 1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ ，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可以得到“最美的数学公式”： $e^{i π} + 1 =$ .

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16. 若函数 $f (x) = x^{2} - a | x - 1 |$ 是区间 $[0 ， + \infty)$ 上的严格增函数，则实数a的取值范围是.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} a \sin B = b \cos A + b$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $D$ 是 $B C$ 边上的点， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，且 $\sqrt{2} a + b = 2 c$ ， $\vec{B C} = λ \vec{B D}$ ，求 $λ$ 的值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + \frac{a_{2}}{3} + \frac{a_{3}}{5} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{n}}{2 n - 1} = {(n + 1)}^{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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19. 2021年是中国共产党成立100周年，为庆祝中国共产党的百年华诞，某单位举行了关于党史知识的书面测试和演讲比赛两阶段团体比赛，最终由16名职工组成的初心队夺得第一名，他们在书面测试与演讲比赛中的个人成绩（单位：分，满分100分）统计如下：

职工序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
书面测试成绩	99	99	98	98	97	95	95	95	93	93	92	92	89	89	88	88
演讲比赛成绩	95	92	86	88	91	88	86	91	90	86	85	83	80	80	79	82

(1)、设书面测试成绩不低于90分为“书面测试优秀”，书面测试成绩低于90分为“书面测试一般”，演讲比赛成绩不低于85分为“演讲比赛优秀”，演讲比赛成绩低于85分为“演讲比赛一般”，据此完成以下2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为书面测试成绩与演讲比赛成绩有关？

	书面测试优秀	书面测试一般	总计
演讲比赛优秀
演讲比赛一般
总计

(2)、从书面测试成绩不低于96分的职工中随机选出2名，记选出的2名职工中演讲比赛成绩不低于90分的人数为

X

，求

X

的分布列及数学期望.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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20. 已知圆柱 $O O_{1}$ 底面半径为1，高为 $π$ ， $A B C D$ 是圆柱的一个轴截面，动点M从点 $B$ 出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线 $Γ$ 如图所示.将轴截面 $A B C D$ 绕着轴 $O O_{1}$ 逆时针旋转 $θ (0 < θ < π)$ 后，边 $B_{1} C_{1}$ 与曲线 $Γ$ 相交于点P.

(1)、求曲线 $Γ$ 的长度；

(2)、当 $θ = \frac{π}{2}$ 时，求点 $C_{1}$ 到平面 $A P B$ 的距离.

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21. 设双曲线 $Γ ： y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ 的上焦点为 $F ， M ， N$ 是双曲线 $Γ$ 上的两个不同的点．

(1)、求双曲线 $Γ$ 的渐近线方程；

(2)、若 $| F M | = 2$ ，求点 $M$ 纵坐标的值；

(3)、设直线 $M N$ 与 $y$ 轴交于点 $Q (0 ， q) ， M$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $M^{'}$ ．若 $M^{'} ， F ， N$ 三点共线，求证： $q$ 为定值．

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22. 已知函数 $f (x) = \cos x + \frac{1}{2} x^{2} - 2$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \sin x - e^{b x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq g (x)$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围．

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