云南省大理下关教育集团2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-06-15 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 4 > 0}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则 $∁_{R} A \cap B =$ （）

A、 $ϕ$ B、 $(0, 4]$ C、 $(1, 4]$ D、 $(4, + \infty)$

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2. 下列结论不正确的是（）

A、若 $a > b$ ， $c > 0$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a > b$ ，则 $a - c > b - c$ C、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b$ ， $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$

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3. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = | 2 + 2 i |$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} i$ D、 $- \sqrt{2} i$

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4. 一元二次方程 $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ （ $a \neq 0$ ）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）

A、 $a < 0$ B、 $a > 0$ C、 $a < - 1$ D、 $a > 1$

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5. 已知 $a = \log_{5} 2$ ， $b = \log_{7} 2$ ， $c = {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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6. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ ， $P$ 分别是 $C_{1} D_{1}$ ， $B C$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，则下列命题正确的是（）

A、 $M N // A P$ B、 $M N // B D_{1}$ C、 $M N //$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ D、 $M N //$ 平面 $B D P$

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7. 函数 $f (x) = \cos x \cdot \log_{2} \frac{1 - x}{1 + x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 函数 $f (x) = (1 + \sqrt{3} \tan x) \cos x$ 的最小正周期为（）

A、 $π$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $2 π$ D、 $\frac{π}{2}$

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9. 在 $△ A B C$ 中， $| A B | = 3$ ， $| A C | = 2$ ， $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ ，则直线 $A D$ 通过 $△ A B C$ 的（）

A、垂心 B、外心 C、重心 D、内心

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10. 《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”掷铁饼者的肩宽约为 $\frac{π}{8}$ 米，一只手臂长约为 $\frac{π}{4}$ 米（两臂等长），“弓”所在圆的半径约为 $\frac{15}{16}$ 米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（）

A、 $\frac{15}{16}$ 米 B、 $\frac{15 \sqrt{2}}{16}$ 米 C、 $\frac{15 \sqrt{3}}{16}$ 米 D、 $\frac{15 \sqrt{3}}{32}$ 米

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11. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的两个向量， $2 \vec{a} - 3 \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} + μ \vec{b}$ 共线，当 $λ > 0$ 时， $2 λ - \frac{3}{μ}$ 的最小值为（）

A、4 B、2 C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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12. 已知函数是 $R$ 上偶函数，且对于 $\forall x \in R$ 都有 $f (x + 6) = f (x) + f (3)$ 成立，当 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [0, 3]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ．对于下列叙述；
① $f (3) = 0$ ；

②直线 $x = - 6$ 是函数 $y = f (x)$ 的一条对称轴；

③函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- 9, - 6]$ 上为增函数；

④函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- 9, 9]$ 上有四个零点．其中正确命题的序号是（）

A、①②③ B、①② C、②④ D、①②④

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二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13. 已知 $α$ 是任意角，且满足 $\cos (α + k \cdot \frac{π}{6}) = \sin α$ ，则常数 $k$ 的一个取值为．

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14. 将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为．

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15. 在山顶铁塔上 $B$ 处测得地面上一点 $A$ 的俯角 $α = 60 °$ ，在塔底 $C$ 处测得点 $A$ 的俯角 $β = 45 °$ ，已知铁塔 $B C$ 部分高32米，山高 $C D =$ ．

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16. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 1 ， x \in [0 ， 1) \\ 1 - x^{2} ， x \in [- 1 ， 0) \end{cases}$ 且 $f (x) = f (x + 2)$ ，函数 $g (x)$ 的表达式为 $g (x) = \frac{x + 3}{x + 2}$ ，则方程 $g (x) = f (x)$ 在区间 $[- 5 ， 1]$ 上的所有实数根之和为．

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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分。

17. 向量 $\vec{a} = (4, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$

(1)、求向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 的模长；

(2)、若向量 $\vec{c} = (3, - 1)$ ，且 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，求实数 $k$ 的值．

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18. 若向量 $\vec{m} = (\sin x ， \cos x)$ ， $\vec{n} = (6 \sin x + \cos x ， 7 \sin x - 2 \cos x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$

(1)、求 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调增区间；

(2)、在角 $A$ 为锐角的 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $f (A) = 6$ 且 $△ A B C$ 的面积为3， $b + c = 2 + 3 \sqrt{2}$ ，求 $a$ 的值．

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19. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为 $k$ ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为 $24 m^{2}$ ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为 $36 m^{2}$ ，凤眼莲的覆盖面积 $y$ （单位： $m^{2}$ ）与月份 $x$ （单位：月）的关系有两个函数模型 $y = k a^{x}$ （ $k > 0$ ， $a > 1$ ）与 $y = p x^{\frac{1}{2}} + k$ （ $p > 0$ ， $k > 0$ ）可供选择。

(1)、试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；

(2)、求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $\lg 3 \approx 0.4711$ ）．

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20. 已知 $△ A B C$ 内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，A为锐角，在以下三个条件中任选一个：① $(b - 3 c) \cos A + a \cos B = 0$ ；② $\sin^{2} \frac{B + C}{2} + \cos 2 A = - \frac{1}{9}$ ；③ $\frac{a}{b} = \frac{1 + \cos A}{\sqrt{2} \sin B}$ ；并解答以下问题：

(1)、若选 ▲ （填序号），求 $\cos A$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积 $S$ 的最大值．

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21. 如图所示，已知 $P$ 是 $▱ A B C D$ 所在平面外一点， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $P C$ 的中点，平面 $P A D \cap$ 平面 $P B C = l$ ．

(1)、求证： $l // B C$ ；

(2)、 $M N$ 与平面 $P A D$ 是否平行？试证明你的结论．

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22. 已知定义域为 $R$ 的单调减函数 $f (x)$ 是奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{x}{3} - 2^{x}$ ．

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、若存在 $t \in R$ ，使得不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) < 0$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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23. 已知集合 $A$ 是满足下列条件的函数 $f (x)$ 全体：在定义域内存在实数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0} + 1) + f (x_{0}) = f (1)$ 成立．

(1)、判断幂函数 $f (x) = x^{- 1}$ 是否属于集合 $A$ ？并说明理由；

(2)、设 $g (x) = \lg \frac{2^{x} + a}{b}$ ， $x \in (- \infty ， 1]$ ，
ⅰ）当 $b = 1$ 时，若 $g (x) \in A$ ，求 $a$ 的取值范围；

ⅱ）若对任意的 $a \in (0 ， 2)$ ，都有 $g (x) \in A$ ，求 $b$ 的取值范围．

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