安徽省淮北市2020级高一下学期数学第二次月考试卷

试卷更新日期：2021-06-15 类型：月考试卷

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一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合 $A = {x | (2 x + 3) (x - 2) < 0}$ ， $B = {x | 4 x - 1 > 0}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | \frac{1}{4} < x < 2}$ B、 ${x | - \frac{3}{2} < x \leq \frac{1}{4}}$ C、 ${x | - \frac{3}{2} < x < \frac{1}{4}}$ D、 ${x | - 2 < x \leq \frac{1}{4}}$

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2. 下列命题中，真命题是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $e^{x_{0}} \leq 0$ B、 $\forall x > 0$ ，且 $x \neq 1$ ，则 $\lg x + \frac{1}{\lg x} \geq 2$ C、 $a > 1$ ， $b > 1$ 是 $a b > 1$ 的充分不必要条件 D、“ $\sin x = \frac{1}{2}$ ”的必要不充分条件是“ $x = \frac{π}{6}$ ”

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3. 已知平面向量 $\vec{a} = (3, 1)$ ， $\vec{b} = (t, - 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t =$ （）

A、-1 B、1 C、3 D、-3

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4. 已知a= $\log_{1.1} 0.9$ ， b= ${0.9}^{1.1}$ ， c= ${1.1}^{0.9}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、a<b<c B、a<c<b C、b<a<c D、b<c<a

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5. 函数 $y = (x^{3} - x) \cdot 3^{| x |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $a > 0$ ， $b < 0$ ，且 $a - 3 b + 2 a b = 0$ ，则 $3 a - b$ 的最小值是（）

A、6 B、8 C、12 D、16

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7. 在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = 8$ ， $C D = 4$ ，若 $M$ 为线段 $B C$ 的中点， $E$ 为线段 $C D$ 上一点，且 $\vec{A M} \cdot \vec{A E} = 27$ ，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D E} =$ （）

A、15 B、10 C、 $\frac{20}{3}$ D、5

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8. 已知函数 $f (x) = \ln x + \ln (2 - x)$ ，则下列四个命题中正确命题的个数是（）
①在 $(0, 1)$ 上单调递增， $(1, 2)$ 上单调递减；②在 $(0, 1)$ 上单调递减， $(1, 2)$ 上单调递增；

③ $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称；④ $y = f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称.

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大的锐角为 $θ$ ，则 $\cos 2 θ$ 等于（）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{9}{25}$ D、 $- \frac{9}{25}$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的图象与 $x$ 轴的两个相邻交点的横坐标分别为 $\frac{π}{6}$ 、 $\frac{2 π}{3}$ ，下面四个有关函数 $f (x)$ 的叙述中，正确结论的个数为（）
①函数 $y = f (x + \frac{π}{3})$ 的图象关于原点对称；

②在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上，函数 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ ；

③直线 $x = \frac{5}{6} π$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴；

④将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到 $g (x)$ 的图象，若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为这两个函数图象的交点，则 $△ A B C$ 面积的最小值为 $\sqrt{2} π$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 当 $x \in (0, \frac{1}{2})$ 时，函数 $f (x) = \log_{a} (- 4 x^{2} + \log_{a} x)$ 的图象恒在 $x$ 轴下方，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ B、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $[\sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(0, 1)$

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12. 函数 $f (x) = 5 | \sin^{2} x - \sin | x | | - 1$ 在 $x \in [- \frac{5 π}{2} ， \frac{5 π}{2}]$ 上的零点个数为（）

A、12 B、14 C、16 D、18

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二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重为kg（取重力加速度大小为 $g = 10 {m/s}^{2}$ ）.

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14. 已知 $\vec{a} = (3, λ)$ ， $\vec{b} = (4, - 3)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围为.

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15. 设 $α \in (0, \frac{π}{3})$ ， $β \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ ，且 $5 \sqrt{3} \sin α + 5 \cos α = 8$ ， $\sqrt{2} \sin β + \sqrt{6} \cos β = 2$ ，则 $\cos (α + β)$ 的值为.

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16. 已知 $A D$ 是 $Rt △ A B C$ 的斜边 $B C$ 上的高， $P$ 在 $D A$ 延长线上， $(\vec{P B} + \vec{P C}) \cdot \vec{A D} = 8 \sqrt{2}$ ，若 $A D$ 的长为2，则 $\vec{P B} \cdot \vec{P C} =$ .

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三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知向量 $\vec{a} = (- 3, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$ ， $\vec{m} = \vec{a} + k \vec{b}$ （ $k \in R$ ）.

(1)、若向量 $\vec{m}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求实数 $k$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{c} = (1, - 1)$ ，且 $\vec{m}$ 与向量 $k \vec{b} + \vec{c}$ 平行，求实数 $k$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = \sin (2 π - x) \cdot \sin (\frac{3 π}{2} - x) - \sqrt{3} \cos^{2} x + \sqrt{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和图象的对称轴方程；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{7 π}{12}]$ 时，求 $f (x)$ 的最小值和最大值.

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19. 已知 $\tan (\frac{π}{4} - α) = \frac{1}{3}$ ， $α \in (0 ， \frac{π}{4})$ .

(1)、求 $f (α) = \frac{\sin 2 α - 2 \cos^{2} α}{1 + \tan α}$ 的值；

(2)、若 $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $\sin (\frac{3 π}{4} + β) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $α + β$ 的值.

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20. 淮北市某日气温

y

（℃）是时间

t

（

0 \leq t \leq 24

，单位：小时）的函数，下面是某天不同时间的气温预报数据：

$t$ （时）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
$y$ （℃）	15.7	14.0	15.7	20.0	24.2	26.0	24.2	20.0	15.7

根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成余弦型函数 $y = A \cos (ω t + φ) + b$ 的图象.

(1)、根据以上数据，试求

y = A \cos (ω t + φ) + b

（

A > 0

，

ω > 0

，

0 < φ < π

）的表达式；

(2)、大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23℃.根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？（忽略商品搬运时间及其它非主要因素）

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21. $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点， $O$ 为外心，点 $M$ 满足 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O M}$ .

(1)、证明： $\vec{A M} = 2 \vec{O D}$ ；

(2)、若 $| \vec{B A} + \vec{B C} | = | \vec{A C} | = 6$ ，设 $A D$ 与 $O M$ 相交于点 $P$ ， $E$ ， $F$ 关于点 $P$ 对称，且 $| \vec{E F} | = 2$ ，求 $\vec{A E} \cdot \vec{C F}$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域和值域；

(2)、设 $h (x) = \frac{f (x)}{2 \sqrt{1 - x^{2}} + 6}$ ，若不等式 $h (x) \leq \frac{3}{4} m^{2} - \frac{1}{2} a m$ 对于任意 $x \in [- 1, 1]$ 及任意 $a \in [- 1, 1]$ 都恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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