天津市和平区2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-11 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算 $0 - (- 6)$ 的结果等于（）

A、-6 B、0 C、16 D、6

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2. $\sqrt{2} \cos 45 °$ 的值等于（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 2020年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至2019年末，全国农村贫困人口减少至551万人，累计减少93480000人，将93480000用科学记数法表示为（）

A、 $0.9348 \times 10^{8}$ B、 $9.348 \times 10^{8}$ C、 $9.348 \times 10^{7}$ D、 $93.48 \times 10^{6}$

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5. 如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 估计 $\sqrt{58}$ 的值在（）

A、7和8之间 B、6和7之间 C、5和6之间 D、4和5之间

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7. 方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 5 \\ 3 x + 4 y = 2 \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 3 \end{array}$

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8. 计算 $\frac{3}{x + 1} - \frac{3 x}{x + 1}$ 的结果为（）

A、3 B、-3 C、 $\frac{3 - 3 x}{x + 1}$ D、 $\frac{3 x - 3}{x + 1}$

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9. 如图所示，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（－3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（）

A、（2，－3） B、（2，3） C、（3，2） D、（3，－2）

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10. 若点 $(- 3 ， y_{1}) ， (2 ， y_{2}) ， (3 ， y_{3})$ 都在反比例函数 $y = - \frac{10}{x}$ 的图象上，则 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ D、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$

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11. 如图，以点 $C$ 为旋转中心，把 $△ A B C$ 顺时针旋转得 $△ D E C$ ．记旋转角为 $α$ ，连接AE， $∠ A E D$ 为 $β$ ，则 $∠ B A E$ 的度数为（）

A、 $α - β$ B、 $\frac{α}{2} + β$ C、 $\frac{β}{2}$ D、 $α - \frac{β}{2}$

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12. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a ， b ， c$ 为常数， $a \neq 0$ ）的对称轴是直线 $x = 1$ ，且与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A ， B$ 两点，其中点A在点 $(3 ， 0)$ 的右侧，直线 $y = - \frac{1}{2} x + c$ 经过 $A ， B$ 两点．有下列结论：① $c > \frac{3}{2}$ ；② $2 a + 2 b + c > 0$ ；③ $- \frac{1}{2} < a < 0$ ．其中正确的结论是（）

A、① B、①② C、②③ D、①②③

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二、填空题

13. 计算 $5 x - 3 x + 4 x$ 的结果等于．

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14. 计算 $(\sqrt{3} + \sqrt{6}) (\sqrt{3} - \sqrt{6})$ 的结果等于．

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15. 不透明袋子中装有12个球，其中有3个红球、4个黄球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．

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16. 直线 $y = 4 x + 1$ 与 $x$ 轴交点坐标为．

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17. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，DA=5 $\sqrt{2}$ ，则BD的长为．

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18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格点M，连接AM并延长交圆于点C．

（Ⅰ）四边形 $A B C D$ 外接圆的半径为．

（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段 $A P$ ，使 $A P$ 平分 $∠ C A D$ ，且点 $P$ 在圆上，并简要说明点 $P$ 的位置是如何找到的（不要求证明）．

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三、解答题

19. 解不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 \leq 4 + 3 x ① \\ 3 x + 2 \geq 4 x ② \end{array}$
请结合题意填空，完成本题的解答．

（Ⅰ）解不等式①，得 ▲ ；

（Ⅱ）解不等式②，得 ▲ ；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为 ▲ ．

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20. 在一次“爱心助学”捐款活动中，全校同学人人拿出自己的零花钱，踊跃捐款，学生捐款额有5元、10元、15元、20元四种情况．李老师在全校范围内随机抽取部分学生，对捐款金额进行了统计，根据统计结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、本次抽取的学生人数为，图①中 $m$ 的值为；

(2)、求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数；

(3)、根据统计的学生捐款的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校学生共捐款的钱数．

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21. 已知 $D A ， D C$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $A ， C$ ，延长 $D C$ 交直径 $A E$ 的延长线于点 $P$ ．

(1)、如图①，若 $D C = P C$ ，求 $∠ P$ 的度数；

(2)、如图②，在 $⊙ O$ 上取一点 $B$ ，连接 $A B ， B C ， B E$ ，当四边形 $A B C D$ 是平行四边形时，求 $∠ P$ 及 $∠ A E B$ 的大小．

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22. 如图， $A ， B$ 两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需经C地沿折线 $A - C - B$ 行驶，全长 $39 km$ ．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶，已知 $∠ A = 30 ° ， ∠ B = 53 °$ ，求隧道开通后，汽车从 $A$ 地到 $B$ 地的路程（结果精确到 $0.1 km$ ）．参考数据： $\sin 53 ° = 0.8 ， \tan 53 ° \approx 1.3 ， \sqrt{3} \approx 1.73$ ．

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23. 甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，甲车离开A城的距离 $y_{1} km$ 与甲车离开A城的时间 $x h$ 的对应关系如图所示．乙车比甲车晚出发 $\frac{1}{2} h$ ，以 $60 km / h$ 的速度匀速行驶．

(1)、填空：
① $A ， B$ 两城相距 $km$ ；

②当 $0 \leq x \leq 2$ 时，甲车的速度为 $km / h$ ；

③乙车比甲车晚 $h$ 到达 $B$ 城；

④甲车出发 $4 h$ 时，距离 $A$ 城 $km$ ；

⑤甲、乙两车在行程中相遇时，甲车离开 $A$ 城的时间为 $h$ ；

(2)、当 $0 \leq x \leq 5 \frac{2}{3}$ 时，请直接写出 $y_{1}$ 关于 $x$ 的函数解析式．

(3)、当 $3 \frac{1}{2} \leq x \leq 5$ 时，两车所在位置的距离最多相差多少 $km$ ？

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24. 如如图，将一个直角三角形纸片AOB ，放置在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，点B在y轴的正半轴上， OA=2，∠ABO=90°，∠AOB=30°．D ， E两点同时从原点O出发，D点以每秒 $\sqrt{3}$ 个单位长度的速度沿x轴正方向运动，E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，连接DE ，交OA于点F ，将△OEF沿直线DE折叠得到△O′EF ，设D ， E两点的运动时间为t秒．

(1)、求点 $A$ 的坐标及 $∠ O E D$ 的度数；

(2)、若折叠后 $△ O^{'} E F$ 与 $△ A O B$ 重叠部分的面积为 $S$ ，
①当折叠后 $△ O^{'} E F$ 与 $△ A O B$ 重叠部分的图形为三角形时，请写出 $S$ 与 $t$ 的函数关系式，并直接写出 $t$ 的取值范围；

②当重叠部分面积最大时，把 $△ O E O^{'}$ 绕点 $E$ 旋转，得到 $△ P E Q$ ，点 $O ， O^{'}$ 的对应点分别为 $P ， Q$ ，连接 $A P ， A Q$ ，求 $△ A P Q$ 面积的最大值（直接写出结果即可）．

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25. 抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 过点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为点D．
（Ⅰ）求点 $C ， D$ 的坐标；

（Ⅱ）点 $E$ 是线段 $O B$ 上一动点，过点 $E$ 作直线 $l ⊥ x$ 轴，交抛物线于点 $M$ ，连接 $B M$ 并延长交 $y$ 轴于点 $N$ ，连接 $A M ， O M$ ．若 $△ A E M$ 的面积是 $△ M O N$ 面积的2倍，求点 $E$ 的坐标；

（Ⅲ）抛物线上一点 $T$ ，点 $T$ 的横坐标是 $- 3$ ，连接 $B T$ ，与 $y$ 轴交于点 $P$ ，点 $Q$ 是线段 $A T$ 上一动点（不与点 $A$ ，点 $T$ 重合）将 $△ B P Q$ 沿 $P Q$ 所在直线翻折，得到 $△ F P Q$ ，当 $△ F P Q$ 与 $△ T P Q$ 重叠部分的面积是 $△ T B Q$ 面积的 $\frac{1}{4}$ 时，求线段 $T Q$ 的长度．

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