天津市北辰区2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-11 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算 $(- 5) + 3$ 的结果是（）

A、-1 B、-2 C、2 D、15

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2. 2cos 30°的值等于(　　)

A、 1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 下列图案中，可以看作是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 中国首次火星探测任务命名为“天问一号”，在文昌航天发射场发射升空并成功进入预定轨道，截至2021年2月3日，“天问一号”探测器总飞行里程已超过449000000公里，将449000000用科学记数法表示应为（）

A、 $0.449 \times 10^{9}$ B、 $4.49 \times 10^{8}$ C、 $44.9 \times 10^{7}$ D、 $449 \times 10^{6}$

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5. 如图是由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 估计 $\sqrt{66}$ 的值在（）

A、5和6之间 B、6和7之间 C、7和8之间 D、8和9之间

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7. 计算 $\frac{x + 1}{x} - \frac{1}{x}$ 的结果为（）

A、1 B、x C、 $\frac{1}{x}$ D、 $\frac{x + 2}{x}$

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8. 方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 2 \\ 3 x + y = 13 \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 4 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 7 \end{array}$

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9. 如图，四边形 $O A B C$ 是矩形， $A (2 ， 1)$ ， $B (0 ， 5)$ ，点 $C$ 在第二象限，则点 $C$ 的坐标是 $($ $)$

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 3)$ D、 $(- 2 ， 4)$

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10. 若点 $A (- 3 ， y_{1})$ ， $B (- 2 ， y_{2})$ ， $C (1 ， y_{3})$ 在反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ C、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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11. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 9$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B = 60 °$ ， $E$ 是边 $B C$ 上任意一点，沿 $A E$ 剪开，将 $△ A B E$ 沿 $B C$ 方向平移到 $△ D C F$ 的位置，得到四边形 $A E F D$ ，则四边形 $A E F D$ 周长的最小值为（）

A、24 B、22 C、30 D、28

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴正半轴交于 $A$ ， $B$ 两点，其中点 $B$ 的坐标为 $(4 ， 0)$ ，抛物线与 $y$ 轴负半轴交于点 $C$ ，有下列结论：

① $a b c > 0$ ；② $4 a + b < 0$ ；③若 $M (1 ， y_{1})$ 与 $N (2 ， y_{2})$ 是抛物线上两点，则 $y_{1} > y_{2}$ ；④若 $A B \geq 3$ ，则 $4 b + 3 c > 0$

其中，正确的结论是（）

A、①② B、③④ C、①④ D、②③

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二、填空题

13. 计算；x²·x⁵ 的结果等于．

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14. 计算 $(4 + \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})$ 的结果等于.

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15. 不透明袋子中装有9个球，其中有4个红球，5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出l个球，则它是红球的概率是．

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16. 直线y=2x+b（b为常数）的图象经过第一、三、四象限，则 $b$ 的值可以是（写出一个即可）．

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17. 如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC=4，点E是边BC上的一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点 $B^{'}$ 处，当△CE $B^{'}$ 为直角三角形时，BE的长为．

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18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $△ O A B$ 的顶点 $A$ ， $B$ ， $O$ 均落在格点上，以点 $O$ 为圆心 $O A$ 长为半径的圆交 $O B$ 于点 $C$ ．

（Ⅰ）线段 $B C$ 的长等于；

（Ⅱ）若 $B D$ 切 $⊙ O$ 于点 $D$ ， $P$ 为 $O A$ 上的动点，当 $B P + D P$ 取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 $D$ ， $P$ ，并简要说明点 $D$ ， $P$ 的位置是如何找到的（不要求证明）．

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三、解答题

19. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x < 2 (x + 1) ① \\ 2 x + 4 \leq 6 ② \end{array}$
请结合题意填空，完成本题的解答．

（Ⅰ）解不等式①，得 ▲ ；

（Ⅱ）解不等式②，得 ▲ ；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为 ▲ ．

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20. 某校为了解初中学生每周家务劳动的时间（单位： $h$ ），随机调查了该校部分初中学生，根据随机调查结果，绘制出如图的统计图①和图②请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）本次接受调查的初中生人数为 ▲ ，图①中 $m$ 的值为 ▲

（Ⅱ）求统计的这组每周家务劳动时间数据的平均数、众数和中位数；

（Ⅲ）根据统计的这组每周家务劳动时间的样本数据，若该校共有900名初中生，估计该校每周在家劳动时间大于 $1.5 h$ 的学生人数是多少．

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21. 如图，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B$ 与弦 $C D$ 相交于点 $E$ ， $∠ A B C = 58 °$ ．

（Ⅰ）如图①，若 $∠ A E C = 85 °$ ，求 $∠ B A D$ 和 $∠ C D B$ 的大小；

（Ⅱ）如图②，若 $C D ⊥ A B$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线 $D F$ ，与 $A B$ 的延长线相交于点 $F$ ．求 $∠ F$ 的大小．

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22. 和平女神塑像是天津意大利风情区马可·波罗广场的标志性建筑．如图，在一次数学综合性实践活动中，小明为测量雕像 $A B$ 的高度，在点 $D$ 处放置1.6米高的测角仪，从点 $C$ 处测得雕像顶端 $A$ 的仰角为31°，然后沿射线 $D B$ 方向前进7米到达点 $F$ 处，又从点 $E$ 处测得雕像顶端 $A$ 的仰角为43°，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 在同一平面内，求雕像 $A B$ 的高度（结果精确到0.1）
参考数据： $\sin 31 ° \approx 0.52$ ， $\cos 31 ° \approx 0.86$ ， $\tan 31 ° \approx 0.60$ ， $\sin 43 ° \approx 0.68$ ， $\cos 43 ° \approx 0.73$ ， $\tan 43 ° \approx 0.93$ ．

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23. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内水量 $y$ （单位： $L$ ）与时间 $x$ （单位： $\min$ ）之间的关系如图所示．

请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、填表：

时间/min

2

3

4

12

容器内水量/L

10

20

(2)、填空：
①每分钟进水升，每分钟出水升；

②容器中储水量不低于15升的时长是分钟；

(3)、当 $0 \leq x \leq 12$ 时，请直接写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式．

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24. 将等边三角形 $A B C$ 如图放置在平面直角坐标系中， $A B = 8$ ， $E$ 为线段 $A O$ 的中点，将线段 $A E$ 绕点 $A$ 逆时针旋转60°得线段 $A F$ ，连接 $E F$ ．

（Ⅰ）如图1，求点 $E$ 的坐标；

（Ⅱ）在图1中， $E F$ 与 $A C$ 交于点 $G$ ，连接 $E C$ ， $N$ 为 $E C$ 的中点，连接 $N G$ ，求线段 $N G$ 的长．请你补全图形，并完成计算；

（Ⅲ）如图2，将 $△ A E F$ 绕点 $A$ 逆时针旋转， $M$ 为线段 $E F$ 的中点， $N$ 为线段 $C E$ 的中点，连接 $M N$ ，请直接写出在旋转过程中 $M N$ 的取值范围．

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25. 如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为原点，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ （ $b$ ， $c$ 为常数），经过点 $A (- 4 ， 0)$ 和点 $B (0 ， - 2)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在抛物线上是否存在一点 $P$ ，使 $S_{△ P A B} = S_{△ O A B}$ ？若存在，请求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、点 $M$ 为直线 $A B$ 下方抛物线上一点，点 $N$ 为 $y$ 轴上一点，当 $△ M A B$ 的面积最大时，直接写出 $2 M N + O N$ 的最小值．

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时间/min	2	3	4	12
容器内水量/L	10		20