河北省唐山市玉田县2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-06-11 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 实数 ${(\sqrt{3} - 1)}^{0}$ 的值是（）

A、 $1 - \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、1 D、-1

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2. 下列各式：① $x^{2} - 16 = (x + 4) (x - 4)$ ，② ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ，③ $- a^{2} b - a b^{2} = - a b (a + b)$ ，从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、② B、①② C、①③ D、②③

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3. 已知：如图，正方形面积为8，其边长是 $x$ ，则关于 $x$ 的结论中正确的是（）

A、正方形的对角线长是4 B、8的平方根是 $x$ C、 $x$ 是有理数 D、 $x$ 不能在数轴上表示

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4. 我国2020年国内生产总值大约 $101$ 万亿元．数据“101万亿”用科学记数法表示为（）

A、 $101 \times 10^{11}$ B、 $101 \times 10^{12}$ C、 $1.01 \times 10^{14}$ D、 $1.01 \times 10^{15}$

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5. 如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）

A、90° B、180° C、210° D、270°

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6. 计算： ${(- 4)}^{101} \times {(*)}^{100} = - 4$ ，则 $*$ 等于（）

A、-1 B、1 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\pm \frac{1}{4}$

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7. 如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是 $\overset{⌢}{A C}$ 上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（）

A、100° B、110° C、120° D、130°

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8. 小明在计算一组数据的方差时，列出的公式如下： $s^{2} = \frac{1}{n} \times [{(7 - \bar{x})}^{2} + {(8 - \bar{x})}^{2} + {(8 - \bar{x})}^{2} + {(8 - \bar{x})}^{2} + {(9 - \bar{x})}^{2}]$ ，根据公式信息，下列说法中，错误的是（）

A、数据个数是5 B、数据平均数是8 C、数据众数是8 D、数据方差是0

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9. 证明：平行四边形的对角线互相平分．
已知：如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ．

求证： $O A = O C$ ， $O B = O D$ ，嘉琪的证明过程如下：

证明：从四边形 $A B C D$ 是平行四边形

∴_____________________________

∴ $∠ A B O = ∠ C D O$ ， $∠ B A O = ∠ D C O$

∴ $△ A O B ≌ △ C O D$

∴ $O A = O C$ ， $O B = O D$

上面证明过程中，“________”应补充的步骤是（）

A、 $A B = C D$ ， $A D = B C$ B、 $A D / / B C$ ， $A D = B C$ C、 $A B / / C D$ ， $A D / / B C$ D、 $A B / / C D$ ﹐ $A B = C D$

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10. 关于x的一元二次方程 $a x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0$ 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）

A、 $a > 0$ B、 $a > - 1$ C、 $a < 1$ D、 $a < 1$ 且 $a \neq 0$

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11. 如图，点 $D (0 ， 3)$ ， $O (0 ， 0)$ ， $C (4 ， 0)$ 在 $⊙ A$ 上， $B D$ 是 $⊙ A$ 的一条弦，则 $\cos ∠ O B D$ 的值是（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12. 由7个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，则以下结论：①主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形；②俯视图是中心对称图形；③左视图不是中心对称图形；④俯视图和左视图都不是轴对称图形，其中符合题意结论是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 °$ ， $∠ C = 30 °$ ，分别以 $A$ 、 $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧相交于点 $D$ 、 $E$ ．作直线 $D E$ ，交 $B C$ 于点 $M$ ；同理作直线 $F G$ 交 $B C$ 于点 $N$ ，若 $A B = \sqrt{6}$ ，则 $M N$ 的长为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{3}$

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14. 若 $105^{2} - 210 \times 5 + 5^{2} = k + 99^{2} - 1$ ，则 $k$ 的值是（）

A、100 B、105 C、200 D、205

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15. 在《类比探究菱形的有关问题》这节网课中，老师给出了如下画菱形的步骤，请问这么画的依据是（）

A、四条边都相等的四边形是菱形 B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形

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16. 如图，现要在抛物线 $y = x (4 - x)$ 上找点 $P (a ， b)$ ，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若 $b = 5$ ，则点P的个数为0；

乙：若 $b = 4$ ，则点P的个数为1；

丙：若 $b = 3$ ，则点P的个数为1．

下列判断正确的是（）

A、乙错，丙对 B、甲和乙都错 C、乙对，丙错 D、甲错，丙对

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二、填空题

17. 分式方程： $\frac{x - 2}{x - 3} = \frac{2}{3 - x} - 1$ 的解为．

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18. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，DE、AC相交于点F，若△CEF的面积为6，则△ADF的面积为．

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三、解答题

19. 如图，矩形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 与原点 $O$ 重合，矩形的周长为 $20$ ，矩形的顶点 $B$ ， $D$ 分别位于 $x$ 轴和 $y$ 轴的正半轴上，顶点 $C$ 位于第一象限，函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $C$ ．

(1)、当 $O B = 1$ 时，则 $k =$ ；

(2)、若（1）中 $k$ 的值仍然成立，猜想反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 可能经过的另一个整点C的坐标为；

(3)、当函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上方有且只有 $5$ 个整点 $C$ 时， $k$ 的取值范围是．

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20. 对于实数 $a$ 、 $b$ ，定义关于“ $※$ ”的一种运算： $a ※ b = 2 a + b$ ．例如 $1 ※ 3 = 2 \times 1 + 3 = 5$ ．

(1)、求 $4 ※ (- 3)$ 的值；

(2)、若 $x ※ y = - 2$ ， $(2 y) ※ x = - 1$ ，求 $x$ 和 $y$ 的值．

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21. 如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚．

(1)、嘉嘉认为污染的数为-3，计算“ $A + B$ ”的结果；

(2)、若 $a = 3 + \sqrt{3}$ ，淇淇认为存在一个整数，可以使得“ $A - B$ ”的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的这个数．

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22. 疫情期间，游海中学进行了一次线上数学学情调查，九（1）班数学李老师对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图.60到70之间学生成绩尚未统计，根据情况画出的扇形图如图．请解答下列问题：

类别	分数段	频数（人数）
A	$60 \leq x < 70$	a
B	$70 \leq x < 80$	16
C	$80 \leq x < 90$	24
D	$90 \leq x < 100$	6

(1)、完成频数分布表，a= ▲ ， B类圆心角= ▲ °，并补全频数分布直方图；

(2)、全校九年级共有720名学生全部参加此次测试，估计该校成绩

80 \leq x < 100

范围内的学生有多少人？

(3)、九（1）班数学老师准备从D类优生的6人中随机抽取两人进行线上学习经验交流，已知这6人中有两名是无家长管理的留守学生，求恰好只选中其中一名留守学生进行经验交流的概率．

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23. 如图， $A (0 ， 4)$ ， $B (0 ， 2)$ ， $A C / / x$ 轴，与直线 $y = \frac{2}{3} x$ 交于点 $C$ ， $C D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ， $P$ 是折线 $A C - C D$ 上一动点．设过点 $B$ ， $P$ 的直线为 $l$ ．

(1)、点 $C$ 的坐标为；

(2)、若直线 $l$ 所在的函数随 $x$ 的增大而减少，则 $P D$ 的取值范围是；

(3)、若动点 $P$ 在 $A C$ 上运动， $△ A B P$ 与 $△ A O C$ 相似时，求此时直线 $l$ 的解析式．

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24. 如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $D$ 是半圆 $O$ 上不同于 $A$ 、 $B$ 两点的任意一点， $C$ 是半圆 $O$ 上一动点， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $F$ ， $B E$ 是半圆 $O$ 所在圆的切线，与 $A C$ 的延长线相交于点 $E$ ．

(1)、若 $A D = B C$ ，求证： $△ C B A ≌ △ D A B$ ；

(2)、若 $B E = B F$ ， $∠ D A C = 30 °$ ， $A B = 8$ ．求 $S_{扇形 C O B}$ ；（答案保留 $π$ ）

(3)、若 $A B = 8$ ， $H$ 为 $A C$ 的中点，点 $C$ 从 $B$ 移动到 $A$ 时，请直接写出点 $H$ 移动的长度．（答案保留 $π$ ）

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25. 某商场经销一种商品，已知其每件进价为40元．现在每件售价为70元，每星期可卖出500件．该商场通过市场调查发现：若每件涨价1元，则每星期少卖出10件；若每件降价1元，则每星期多卖出m（m为正整数）件．设调查价格后每星期的销售利润为W元．

(1)、设该商品每件涨价x（x为正整数）元，
①若x=5，则每星期可卖出 ▲ 件，每星期的销售利润为 ▲ 元；

②当x为何值时，W最大，W的最大值是多少？

(2)、设该商品每件降价y（y为正整数）元，
①写出W与y的函数关系式，并通过计算判断：当m=10时每星期销售利润能否达到（1）中W的最大值；

②若使y=10时，每星期的销售利润W最大，直接写出W的最大值为 ▲ ．

(3)、若每件降价5元时的每星期销售利润，不低于每件涨价15元时的每星期销售利润，求m的取值范围．

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26. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = B C = C A = 4 cm$ ， $A D ⊥ B C$ 于 $D$ ，点 $P$ 、 $Q$ 分别从 $B$ 、 $C$ 两点同时出发，其中点 $P$ 沿 $B C$ 向终点 $C$ 运动，速度为 $1 cm / s$ ；点 $Q$ 沿 $C A$ 、 $A B$ 向终点 $B$ 运动，速度为 $2 cm / s$ ，设它们的运动时间为 $x$ $s$ ．

(1)、求 $x$ 为何值时， $P Q ⊥ A C$ ；

(2)、设 $△ P Q D$ 的面积为 $y ({cm}^{2})$ ，当 $0 < x < 2$ 时，解决下列问题：
①求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

②求证： $A D$ 平分 $△ P Q D$ 的面积；

(3)、探索以 $P Q$ 为直径的圆与 $A C$ 的位置关系，请直接写出相应位置关系的 $x$ 的取值范围．

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