北京市门头沟区2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-11 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）

A、长方体 B、正方体 C、三棱柱 D、圆柱

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2. 在学习强国平台中，5月16日发布的“第一观察——天问落火”栏目的阅读量截止到5月17日中午，就已经达到了10895538人次，将10895538精确到万，得（）

A、1089 B、1090 C、1089万 D、1090万

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3. 若代数式 $\frac{| x | - 1}{x + 1}$ 值为零，则（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 1$ C、 $x = \pm 1$ D、 $x \neq 1$

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4. 有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折，得到图②，再沿虚线向右翻折得到图③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 1 \\ x - y = 3 \end{array}$ 的解为（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 1 \end{array}$

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6. 线段OA以点O为旋转中心，逆时针旋转60°，得到 $O A_{1}$ ，再将 $O A_{1}$ 以点O为旋转中心逆时针旋转60°得到 $O A_{2}$ ，依此操作直到点 $A_{n}$ 与点A重合为止，顺次连接点A、 $A_{1}$ … $A_{n - 1}$ 形成的多边形是（）

A、正四边形 B、正五边形 C、正六边形 D、正七边形

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7. 如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 如图，是函数 $y = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$ （0≤x≤4）的图象，通过观察图象得出了如下结论：
⑴当x>3时，y随x的增大而增大；⑵该函数图象与x轴有三个交点；⑶该函数的最大值是6，最小值是﹣6；⑷当x > 0时，y随x的增大而增大．

以上结论中正确的有（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

9. -3的倒数是。

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10. 已知 $\sqrt{x - 2} + {(y + 1)}^{2} = 0$ ，则x+y= ．

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11. 比 $\sqrt{7}$ 大的整数中，最小的是．

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12. 如图所示的正方形网格内，点A ， B ， C ， D ， E是网格线交点，那么 $∠ E C D + ∠ E D C =$ °．

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13. 如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，若DE=2，则BC边的长为．

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14. 若两圆的半径分别是1和3，且两圆的位置关系是相切，则圆心距为．

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15. 一个函数满足过点 $(0, 1)$ ，且当 $x > 0$ 时，y随x的增大而减小，该函数可以为．

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16. 某单位设有6个部门，共153人，如下表：

部门	部门1	部门2	部门3	部门4	部门5	部门6
人数	25	16	23	32	43	14

参与了“学党史，名师德、促提升”建党100周年，“党史百题周周答活动”，一共十道题，每小题10分，满分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一个部门还没有参与答题，其余五个部门全部完成了答题，完成情况如下表：

分数	100	90	80	70	60	50及以下
比例	5	2	1	1	1	0

综上所述，未能及时参与答题的部门可能是．

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三、解答题

17. 计算： $| - \sqrt{3} | - {(π + 2021)}^{0} - 2 \sin 60 ° + {(\frac{1}{3})}^{- 2}$ ．

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18. 解分式方程： $\frac{1}{x - 1} + \frac{2 x}{x + 1} = 2$ ．

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19. 已知：如图， $A B = D E$ ， $A F = D C$ ，请补充一个条件可以得到 $B C = E F$ ．

补充的条件： ▲ ；

证明：

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20. 已知： $x - 2 y = 0$ ，求 $\frac{2 x + y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}} \cdot (x - y)$ 的值．

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21. 已知，如图，直线l及直线外一点P．
求作：过点P ，作直线l的平行线．

下面是一种方案的作法：

①在直线l上取一点A ，以点A为圆心，AP为半径作弧交直线于点B；

②分别以点B、点P为圆心，AP为半径作弧两弧交于点C；

③作直线PC；

直线PC为所求作的直线．

(1)、利用直尺和圆规依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接PA、PC、BC

由①可得，PA=AB ．

由②可得，PC=BC= PA ．

∴ PC=BC= PA= AB ，

∴ ，（填依据：）

∴ PC $//$ l ．

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22. 已如，如图，在△ABC中，AB＝AC ， AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E ，连接DE交AB于点O ．

(1)、求证：四边形ADBE是矩形；

(2)、若BC=8，AO= $\frac{5}{2}$ ，求四边形AEBC的面积．

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23. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象过点 $P (2 ， 2)$ ．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、一次函数 $y = x + a$ 与y轴相交于点M ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象交于点N ，过点 $M$ 作x轴的平行线，过点 $N$ 作y轴的平行线，两平行线相交于点Q ，当 $\frac{1}{2} \leq S_{△ M N Q} \leq 2$ 时，通过画图，直接写出a的取值范围．

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24. 已知，如图，在△ $A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 边上一点，⊙ $O$ 过 $D 、 B 、 C$ 三点，直线 $A C$ 是⊙ $O$ 的切线， $O D // A C$ ．

(1)、求 $∠ A C D$ 的度数；

(2)、如果 $∠ A C B = 75 °$ ，⊙ $O$ 的半径为 $2$ ，求 $B D$ 的长．

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25. 2021年是中国共产党建党100周年，为了让学生了解更多的党史知识，某中学举行了一次“党史知识竞赛”，为了了解本次竞赛情况，从中抽取了初一、初二两个年级各50名学生，对他们此次竞赛的成绩（得分取正整数，满分为100分）分别进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息．
a ．初一年级学生竞赛成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x<100）：

b ．初一年级学生竞赛成绩在80≤x<90这一组的是：

80 81 81 82 82 84 86 86 86 88 88 89

c ．这两个年级学生竞赛成绩的平均数、众数、中位数如下：

成绩

平均数

中位数

众数

初一年级学生

82

m

86

初二年级学生

83

85

84

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、写出表中m的值；

(2)、在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是（填“初一”或“初二”），理由是．

(3)、已知该校初一年级有学生400人，估计该校初一年级学生竞赛成绩超过85的人数．

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26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = - x^{2} + 2 b x - 3$ 的对称轴为直线x =2．

(1)、求b的值；

(2)、在y轴上有一动点P（0， $n$ ），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点 A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），其中 $x_{1} < x_{2}$ ．
①当 $x_{2} - x_{1} = 3$ 时，结合函数图象，求出n的值；

②把直线PB上方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W在0≤x≤5时，满足 $- 4 \leq y \leq 4$ ，求 $n$ 的取值范围．

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27. 已知，如图，∠MAN=90°，点B是∠MAN的内一点，且到AM ， AN的距离相等．过点B做射线BC交AM于点C ，将射线BC绕点B逆时针旋转90°交AN于点D ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、求证：BC=BD；

(3)、连接AB ，用等式表示线段AB ， AC ， AD之间的数量关系，并证明．

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28. 在△ABC中，点P是∠BAC的角平分线AD上的一点，若以点P为圆心，PA为半径的⊙P与△ABC的交点不少于4个，点P称为△ABC 关于∠BAC的“劲度点”，线段 PA的长度称为△ABC 关于∠BAC的“劲度距离”．

(1)、如图，在∠BAC平分线AD上的四个点 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 、 $P_{3}$ 、 $P_{4}$ 中，连接点A和点的线段长度是△ABC关于∠BAC的“劲度距离”．

(2)、在平面直角坐标系中，已知点M（0，t），N （4，0）．
①当t= $5$ 时，求出△MON 关于∠MON的“劲度距离” $d_{1}$ 的最大值．

②如果 $\sqrt{2} \leq d \leq 2 \sqrt{2}$ 内至少有一个值是△MON 关于∠MON的“劲度距离”，请直接写出t的取值范围．

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成绩	平均数	中位数	众数
初一年级学生	82	m	86
初二年级学生	83	85	84