北京市海淀区2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-11 类型：中考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 下列图形中，是圆锥侧面展开图的是（）

A、三角形 B、圆 C、扇形 D、矩形

查看试题解析
2. 如图，点A是数轴上一点，点A ， B表示的数互为相反数，则点B表示的数可能是（）

A、0 B、1 C、1.5 D、2.5

查看试题解析
3. 如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
4. 下列运算正确的是（）

A、 $2 a + 3 a = 5 a$ B、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ C、 $\frac{2}{a} + \frac{3}{a} = \frac{5}{2 a}$ D、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$

查看试题解析
5. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为 $(2 ， 1)$ ，则k的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
6. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，PA与 $⊙ O$ 相切于点A ， $B C // O P$ 交 $⊙ O$ 于点C ．若 $∠ B = 70 °$ ，则 $∠ O P C$ 的度数为（）

A、 $10 °$ B、 $20 °$ C、 $30 °$ D、 $40 °$

查看试题解析
7. 某餐厅规定等位时间达到30分钟（包括30分钟）可享受优惠．现统计了某时段顾客的等位时间t（分钟），数据分成6组： $10 \leq t < 15$ ， $15 \leq t < 20$ ， $20 \leq t < 25$ ， $25 \leq t < 30$ ， $30 \leq t < 35$ ，如图是根据数据绘制的统计图．下列说法正确的是（）

A、此时段有1桌顾客等位时间是40分钟 B、此时段平均等位时间小于20分钟 C、此时段等位时间的中位数可能是27 D、此时段有6桌顾客可享受优惠

查看试题解析
8. 如图，一架梯子AB靠墙而立，梯子顶端B到地面的距离BC为 $2m$ ，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是（）

A、正比例函数关系 B、一次函数关系 C、二次函数关系 D、反比例函数关系

查看试题解析

二、填空题

9. 若代数式 $\frac{1}{4 - x}$ 有意义，则实数x的取值范围是．

查看试题解析
10. 分解因式： $a^{2} b - b =$

查看试题解析
11. 比较大小： $\sqrt{7}$ 3（填“˃”或“=”或“<”）．

查看试题解析
12. 盒中有1枚白色棋子和1枚黑色棋子，这两枚棋子除颜色外无其他差别，从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，放回后，再从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，那么两次记录的颜色都是黑色的概率是．

查看试题解析
13. 如图，两条射线 $A M // B N$ ，点C ， D分别在射线BN ， AM上，只需添加一个条件，即可证明四边形ABCD是平行四边形，这个条件可以是（写出一个即可）．

查看试题解析
14. 《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学专著，其中包含了“鸡兔同笼”“物不知数”等许多有趣的数学问题．《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其译文为：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设木长x尺，绳子长y尺，可列方程组为．

查看试题解析
15. 如图所示的网格是正方形网格，A ， B ， C ， D是网格线交点，则 $∠ B A C$ 与 $∠ D A C$ 的大小关系为： $∠ B A C$ $∠ D A C$ （填“＞”，“＝”或“＜”）．

查看试题解析

16. 小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：

km

）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为

km

．

日期	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天
低强度	8	6	6	5	4
高强度	12	13	15	12	8
休息	0	0	0	0	0

查看试题解析

三、解答题

17. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + \sqrt{8} + | \sqrt{3} - 1 | - 2 \sin 60 °$ ．

查看试题解析
18. 解方程： $\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3}{x - 2}$ ．

查看试题解析
19. 先化简再求值： ${(a - 1)}^{2} - 2 a (a - 1)$ ，其中 $a = \sqrt{3}$ ．

查看试题解析
20. 已知： $∠ M A N$ ，B为射线AN上一点．
求作： $△ A B C$ ，使得点C在射线AM上，且 $∠ A B C = \frac{1}{2} ∠ C A B$ ．

作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点D ，交射线AN的反向延长线于点E；

②以点E为圆心，BD长为半径画弧，交 $\overset{⌢}{D E}$ 于点F；

③连接FB ，交射线AM于点C ．

$△ A B C$ 就是所求作的三角形．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明：
证明：连接BD ， EF ， AF ，

∵点B ， E ， F在 $⊙ A$ 上，

$∴ ∠ E B F = \frac{1}{2} ∠ E A F$ （）（填写推理的依据）．

∵在 $⊙ A$ 中， $B D = E F$ ，

$∴ ∠ D A B =$ ．

$∴ ∠ A B C = \frac{1}{2} ∠ C A B$ ．

查看试题解析
21. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - m x + 2 m - 4 = 0$ ．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若方程有一个根小于1，求m的取值范围．

查看试题解析
22. 如图1， $△ A B C$ 中，D为AC边上一动点（不含端点），过点D作 $D E // A B$ 交BC于点E ，过点E作 $E F // A C$ 交AB于点F ，连接AE ， DF ．点D运动过程中，始终有 $A E = D F$ ．

(1)、求证： $∠ B A C = 90 °$ ；

(2)、如图2，若 $A C = 3 ， \tan B = \frac{3}{4}$ ，当 $A F = A D$ 时，求AD的长．

查看试题解析
23. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x - 1$ 的图象经过点 $(2 ， 3)$ ．

(1)、求这个一次函数的解析式；

(2)、当 $x < 2$ 时，对于x的每一个值，函数 $y = x + a$ 的值都大于一次函数 $y = k x - 1$ 的值，直接写出a的取值范围．

查看试题解析
24. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径，点C在AB的延长线上，CD与 $⊙ O$ 相切于D ，过点B作 $B E // C D$ 交 $⊙ O$ 于点E ，连接AD ， AE ． $∠ E A D = 22.5 °$

(1)、求 $∠ E A B$ 的度数；

(2)、若 $B C = 2 \sqrt{2} - 2$ ，求BE的长．

查看试题解析
25. 品味诗词之美，传承中华文明，央视节目《中国诗词大会》备受大众欢迎．节目规则如下：由100位诗词爱好者组成的百人团与挑战者共同答题，每位挑战者最多可答五轮题．每轮比赛答题时，如挑战者答对，则百人团答错的人数即为选手该轮得分；如挑战者答错，则该轮不得分，且停止答题．每轮比赛的得分之和即为挑战者的总得分．现有甲、乙、丙三人作为挑战者参加节目答题，相关信息如下：
a ．甲、乙两人参加比赛的得分统计图如下，每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙二人在相同轮次的得分：

b ．丙参加比赛的得分统计图如下：

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、已知点A的坐标为 $(26 ， 18)$ ，则此轮比赛中：甲的得分为，与甲同场答题的百人团中，有人答对；

(2)、这五轮比赛中，甲得分高于乙得分的比赛共有轮；甲、乙、丙三人中总得分最高的为；

(3)、设甲参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为 $s_{1}^{2}$ ，乙参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为 $s_{2}^{2}$ ，则 $s_{1}^{2}$ $s_{2}^{2}$ （填“＞”，“＜”或“＝”）．

查看试题解析
26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2}$ 与y轴的交点为A ，过点A作直线l垂直于y轴．

(1)、求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；

(2)、将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G ．点 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 图形G上任意两点．
①当 $m = 0$ 时，若 $x_{1} < x_{2}$ ，判断 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系，并说明理由；

②若对于 $x_{1} = m - 2 ， x_{2} = m + 2$ ，都有 $y_{1} > y_{2}$ ，求m的取值范围．

查看试题解析
27. 已知 $∠ M O N = 90 °$ ，点A在边OM上，点P是边ON上一动点， $∠ O A P = α$ ，将线段AP绕点A逆时针旋转 $60 °$ ，得到线段AB ，连接OB ，再将线段OB绕点O顺时针旋转 $60 °$ ，得到线段OC ，作 $C H ⊥ O N$ 于点H ．

(1)、如图1， $α = 60 °$ ．
①依题意补全图形；

②连接BP ，求 $∠ B P H$ 的度数；

(2)、如图2，当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明．

查看试题解析
28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A_{1} ， A_{2} ， \dots ， A_{k}$ 是k个互不相同的点，若这k个点横坐标的不同取值有m个，纵坐标的不同取值有n个， $p = m + n$ ，则称p为这k个点的“特征值”，记为 $〈 A_{1} ， A_{2} ， \dots ， A_{k} 〉 = p$ ．如图1，点 $M (1 ， 1) ， N (1 ， 2) ， T 〈 M ， N 〉 = 1 + 2 = 3$ ．

(1)、如图2，圆C的圆心为 $(0 ， 3)$ ，半径为5，与x轴交于A ， B两点．
① $T 〈 A ， B 〉 =$ ▲ ， $T 〈 A ， B ， C 〉 =$ ▲ ；

②直线 $y = b (b \neq 0)$ 与圆C交于两点D ， E ，若 $T 〈 A ， B ， D ， E 〉 = 6$ ，求b的取值范围；

(2)、点 $A_{1} ， A_{2} ， \dots ， A_{8}$ 到点O的距离为1或 $\sqrt{2}$ ，且这8个点构成中心对称图形， $T 〈 A_{1} ， A_{2} ， \dots ， A_{8} 〉 = 6$ ，若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 恰好经过 $A_{1} ， A_{2} ， \dots ， A_{8}$ 中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出a的所有可能取值．

查看试题解析