安徽省宣城市三校2021年中考数学3月模拟试卷

试卷更新日期：2021-06-11 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列运算错误的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ B、 ${(y^{3})}^{4} = y^{12}$ C、 ${(- 2 x)}^{3} = - 8 x^{3}$ D、 $x^{3} + x^{3} = 2 x^{6}$

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2. 不等式组 ${\begin{matrix} 3 x - 1 > 2 \\ 8 - 4 x \leq 0 \end{matrix}$ 的解集在数轴上表示为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 据统计，某城市去年接待旅游人数约为89000000人，89000000这个数据用科学记数法表示为（）

A、 $8.9 \times 10^{5}$ B、 $8.9 \times 10^{6}$ C、 $8.9 \times 10^{7}$ D、 $8.9 \times 10^{8}$

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4. 用代数式表示“ $a$ 的2倍与 $b$ 的平方的差”，正确的是（）.

A、 ${(2 a - b)}^{2}$ B、 $2 {(a - b)}^{2}$ C、 $2 a - b^{2}$ D、 ${(a - 2 b)}^{2}$

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5. 如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（）

A、3 B、3 $\sqrt{3}$ C、6 D、9

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6. 某班班长统计去年1∼8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位：本)，绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（）

A、每月阅读数量的平均数是50 B、众数是42 C、中位数是58 D、每月阅读数量超过40的有4个月

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 15 °$ ，DE垂直平分AB ，交BC于点E ， $A E = 6 cm$ ，则 $A C =$ （）

A、 $6 cm$ B、 $5 cm$ C、 $4 cm$ D、 $3 cm$

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8. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图，给出下列四个结论：

① $3 a + 2 b + c < 0$ ；② $3 a + c < b^{2} - 4 a c$ ；③方程 $2 a x^{2} + 2 b x + 2 c - 5 = 0$ 没有实数根；④ $m (a m + b) + b < a (m \neq - 1)$ ．

其中正确结论的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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9. 已知a、b实数且满足（a²+b²）²﹣（a²+b²）﹣6=0，则a²+b²的值为（）

A、3 B、﹣2 C、3或﹣2 D、﹣3或2

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10. 如图，矩形ABCD中，AB＝2AD＝4cm ，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向点B运动，动点Q同时从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AD→DC→CB向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是x（s）时，△APQ的面积是y（cm²），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 已知 $m, n, p$ 为实数，若 $x - 1, x + 4$ 均为多项式 $x^{3} + m x^{2} + n x + p$ 的因式，则 $2 m - 2 n - p + 86 =$ .

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12. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，过B作 $A_{1} B ⊥ A C$ ，过 $A_{1}$ 作 $A_{1} B_{1} ⊥ B C$ ，得阴影 $Rt △ A_{1} B_{1} B$ ；再过 $B_{1}$ 作 $B_{1} A_{2} ⊥ A C$ ，过 $A_{2}$ 作 $A_{2} B_{2} ⊥ B C$ ，得阴影 $Rt △ A_{2} B_{2} B_{1}$ ；…如此下去．请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为．

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13. 如图， $Δ A B C$ 是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且 $∠ B P C = 60^{°}$ ，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是．

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14. 如图，图1是“杨辉三角”数阵；图2是（a+b）ⁿ的展开式（按b的升幂排列）．若（1+x）⁴⁵的展开式按x的升幂排列得：（1+x）⁴⁵＝a₀+a₁x+a₂x²+…+a₄₅x⁴⁵ ，则a₂＝．

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三、解答题

15. 计算：2cos45°+（﹣ $\frac{1}{2}$ ）^-1+（2020﹣ $\sqrt{2}$ ）⁰+|2﹣ $\sqrt{2}$ |．

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16. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作.《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”请列方程组解决此问题．

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17. 在所给格点图中，画出△ABC作下列变换后的三角形，并写出所得到的三角形三个顶点的坐标.
⑴沿y轴正方向平移2个单位后得到△A₁B₁C₁；

⑵关于y轴对称后得到△A₂B₂C₂.

⑶以点B为位似中心，放大到2倍后得到△A₃B₃C₃.

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18. 如图所示，小亮在大楼 $A D$ 的观光电梯中的 $E$ 点测得大楼 $B C$ 楼底 $C$ 点的俯角为60°，此时他距地面的高度 $A E$ 为21米，电梯再上升9米到达 $D$ 点，此时测得大楼 $B C$ 楼顶 $B$ 点的仰角为45°，求大楼 $B C$ 的高度．（结果保留根号）

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19. 在 $△ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ}$ ， $AC = BC = 2$ ，点C在直线m上， $m / / AB$ ， $∠ DBE = 45^{\circ}$ ，其中点D、E分别在直线AC、m上，将 $∠ DBE$ 绕点B旋转 $($ 点D、E都不与点C重合 $)$ ．

(1)、当点D在边AC上时 $($ 如图 $1)$ ，设 $CE = x$ ， $CD = y$ ，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

(2)、当 $△ BCE$ 为等腰三角形时，求CD的长．

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20. “时裳”服装店现有A、B、C三种品牌的衣服和D、E两种品牌的裤子，温馨家现要从服装店选购一种品牌的衣服和一种品牌的裤子．

(1)、写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）

(2)、如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A品牌衣服被选中的概率是多少？

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21. 如图，以 $△ A B C$ 的一边AB为直径作⊙O ， ⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作 $D E ⊥ A C$ ．

(1)、求证：DE为⊙O的切线；

(2)、连接OC交DE于点F ，若 $\sin ∠ A B C = \frac{3}{4}$ ，求 $\frac{O F}{F C}$ 的值．

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22. 点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，连接DF，交CG于点H.

(1)、发现：如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是；

(2)、探究：如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

(3)、拓展：在（2）的基础上，若射线FC过AD的三等分点，AD＝3，AB＝4，则直接写出线段EF的长.

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23. 已知，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ ，过 $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (3 ， 0)$ 、 $C (0 ， - 3)$ ，点 $M$ 为顶点.

(1)、求抛物线的解析式及顶点 $M$ 的坐标；

(2)、在抛物线的对称轴上找一点 $P$ ，使 $P A + P C$ 的值最小，并求出 $P$ 的坐标；

(3)、若直线 $l$ 经过点 $C$ 、 $M$ 两点，且与 $x$ 轴交于点 $E$ ，判断 $△ A E C$ 的面积与 $△ B C M$ 的面积是否相等？请说明理由.

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