安徽省阜阳市太和县2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-06-11 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中，最大的数是（）

A、-π B、-3 C、0 D、1

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2. 下列各式成立的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 $x^{2} + y^{2} = (x + y) (x - y)$ C、 ${(a^{5} \div a^{2})}^{2} = a^{6}$ D、 ${(﹣ 3 x y)}^{3} = 27 x^{3} y^{3}$

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3. 春节燃放爆竹是中华民族辞旧迎新的习俗，然而因春节期间全国各地雾霾天气频现，各地纷纷出台禁止燃放烟花爆竹的通知，如图所示的是一种爆竹的示意图，则爆竹的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 \geq - x \\ 4 - \frac{1}{3} x > 2 \end{array}$ 的整数解有（）

A、6个 B、7个 C、8个 D、无数个

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5. 近日，安徽各县（市）相继发布2020年主要经济数据，县域经济总量（GDP）20强名单新鲜出炉．我县排名第9位，经济总量达到476亿元．数据476亿用科学记数法表示为（）

A、 $4.76 \times 10^{10}$ B、 $4.76 \times 10^{9}$ C、 $4.76 \times 10^{8}$ D、 $476 \times 10^{8}$

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6. 一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = x_{2} = - 1$ B、 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 1$ C、 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 1$ D、无实数解

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C ⊥ B D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是 $A D$ ， $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 的中点，若在四边形 $A B C D$ 内任取一点，则这一点落在图中阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 若反比例函数 $y = \frac{k + 3}{x}$ 的图象经过第二、第四象限，则关于 $x$ 的一次函数 $y = (k + 2) x + 1 - k$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图， $△ A B C$ 的顶点在正方形网格的格点上，则 $\sin A$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{17 \sqrt{2}}{26}$ D、 $\frac{17 \sqrt{2}}{29}$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $P$ 为 $A C$ 上一动点，若 $B C = 4$ ， $A C = 6$ ，则 $\sqrt{2} B P + A P$ 的最小值为（）

A、5 B、10 C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $10 \sqrt{2}$

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt{9} - {(π - 3)}^{0} =$ ．

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12. 因式分解： $12 x^{3} y - 3 x y =$ ．

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13. 如图，平行四边形 $A B C O$ 的边 $A B$ 的中点 $F$ 在 $y$ 轴上，对角线 $A C$ 与 $y$ 轴交于点 $E$ ，若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象恰好经过 $A F$ 的中点 $D$ ，且 $△ A E O$ 的面积为6，则 $k$ 的值为．

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14. 如图1，E是等边 $△ A B C$ 的边BC上一点（不与点B ， C重合），连接AE ，以AE为边向右作等边 $△ A E F$ ，连接 $C F ．$ 已知 $△ E C F$ 的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（ $P$ 为抛物线的顶点）．

(1)、当 $△ E C F$ 的面积最大时， $∠ F E C$ 的大小为．

(2)、等边 $△ A B C$ 的边长为．

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三、解答题

15. 解分式方程： $\frac{2}{x - 3}$ ＝ $\frac{1}{x - 1}$ .

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16. 如图，在平面直角坐标系内， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 5 ， 4)$ ， $B (- 4 ， 1)$ ， $C (- 1 ， 1)$ ．

⑴作出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

⑵作出 $△ A B C$ 绕点 $O$ 按顺时针方向旋转90°得到的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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17. 《孙子算经》是中国古代的数学著作，成书大约一千五百年前．卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法，其中“物不知数”的问题．在西方的数学史里被称为“中国的剩余定理”．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，向木条长多少尺？”

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18. 为建设新农村，全面实现“村村亮”，某市在其辖区内的每个村庄都安装了如图1所示的太阳能路灯，图2是该路灯的平面示意图， $M N$ 为立柱的一部分，灯臂 $A C$ ，支架 $B C$ 与立柱 $M N$ 分别交于A ， B两点，灯臂 $A C$ 与支架 $B C$ 交于点C ．已知 $∠ M A C = 75 ° ， ∠ A C B = 15 °$ ， $A B = 20 cm ， B N = 280 cm$ ，求点C到地面的距离．（结果精确到 $1cm$ ．参考数据： $\tan 75 ° \approx 3.732$ ， $\tan 15 ° \approx 0.268$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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19. 观察以下等式：
第一个等式： $3^{2} - 1 = 9 - 1 = 2 \times (1 + 3)$

第二个等式： $3^{3} - 1 = 27 - 1 = 2 \times (1 + 3 + 9)$

第三个等式： $3^{4} - 1 = 81 - 1 = 2 \times (1 + 3 + 9 + 27)$

…

按照上述规律，解决下列问题：

(1)、写出第四个等式．

(2)、写出你猜想的第 $n$ 个等式： ▲ （用含 $n$ 的等式表示），并证明．

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20. 如图，以 $B C$ 为底的等腰 $△ A B C$ 的三个顶点都在 $⊙ O$ 上，过点 A作 $A D // B C$ 交 $B O$ 的反向延长线于点D ．

(1)、求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若四边形 $A D B C$ 是平行四边形，且 $B C = 12$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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21. 随着手机APP技术的迅猛发展，春节期间人们的娱乐方式比以往有很多改变．某校数学兴趣小组为了解某社区居民对各类APP的使用情况，针对给出的四类APP（ $A$ 看电影或电视、 $B$ 刷抖音、 $C$ 聊天、 $D$ 其他）对社区内部分居民进行了抽样调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

(1)、参与抽样调查的总人数是．

(2)、补全条形统计图．

(3)、若小明和小红两人在四类APP中随机选择一类进行使用，则小明和小红恰好选择同一类APP的概率为多少？

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22. 如图，抛物线 $M$ ： $y = - x^{2} + 4 x$ 交 $x$ 轴正半轴于点 $A$ ，将抛物线 $M_{1}$ 先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线 $M_{2}$ ， $M_{1}$ 与 $M_{2}$ 交于点 $B$ ，直线 $O B$ 交 $M_{2}$ 于点 $C$ ．

(1)、①抛物线 $M_{2}$ 的解析式为 ▲ ；
②求点 $B$ ， $C$ 的坐标．

(2)、 $P$ 是抛物线 $M_{1} ⊥ A B$ 间的点，作 $P Q ⊥ x$ 轴交抛物线 $M_{2}$ 于点 $Q$ ，连接 $C P$ ， $C Q$ ．设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，当 $m$ 为何值时，使 $△ C P Q$ 的面积最大？并求出最大值．

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23. 如图1，在正方形 $A B C D$ 中， $O$ 为对角线 $B D$ 的中点， $E$ 为边 $B C$ 上一动点，连接 $A E$ 交 $B D$ 于点 $M$ ，过点 $B$ 作 $B F ⊥ A E$ 垂足为 $F$ ，连接 $O F$ ，过点 $O$ 作 $O G ⊥ O F$ 交 $A E$ 于点 $G$ ．

(1)、若 $E$ 为 $B C$ 的中点，求 $\frac{M E}{A M}$ 的值．

(2)、证明： $O G = O F$ ．

(3)、如图2，连接 $D G$ 并延长至 $N$ ，使 $D G = N G$ ，连接 $A N$ ， $N F$ ， $D F$ ，若四边形 $A N F D$ 是菱形， $O G = 1$ ，求 $B M$ 的长．

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