山东省高中数学2020-2021学年高一下学期期末模拟试卷

试卷更新日期：2021-06-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $z_{1}, z_{2}$ 为复数，则下列命题正确的是（）

A、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ B、若 $z_{1} = \bar{z_{1}}$ ，则 $z_{1}$ 为实数 C、若 $z_{2}^{2} > 0$ ，则 $z_{2}$ 为纯虚数 D、若 ${(z_{1} - 1)}^{2} + {(z_{2} - 1)}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 1$

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2. 某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生（）

A、630 B、615 C、600 D、570

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3. 若事件A与B相互独立，P（A）＝ $\frac{2}{3}$ ，P（B）＝ $\frac{1}{4}$ ，则P（A∪B）＝（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{7}{12}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{11}{12}$

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4. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面向上”，设事件B=“第二枚硬币正面向上”，则（）

A、事件A与B互为对立事件 B、件A与B为互斥事件 C、事件A与事件B相等 D、事件A与B相互独立

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5. 已知向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 满足 $(\overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b}) \cdot (5 \overset{⇀}{a} - 4 \overset{⇀}{b}) = 0$ ，且 $| \overset{⇀}{a} | = | \overset{⇀}{b} | = 1$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角 $θ$ 为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b^{2} + c^{2} = a^{2} + \sqrt{3} b c$ ，则角 $A$ 的大小为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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7. 已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $m // α, m // β$ ，则 $α // β$ B、若 $m // α, n // β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ α, n // α$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ⊥ α, m ⊥ n$ ，则 $n // α$

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8. 已知数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{2020}$ 的方差为4，若 $y_{i} = - 2 (x_{i} - 3), (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 2020)$ ，则新数据 $y_{1}, y_{2}, \cdot \cdot \cdot, y_{2020}$ 的方差为（）

A、16 B、13 C、-8 D、-16

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二、多选题

9. 已知非零平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ , $\vec{c}$ ,则（）

A、存在唯一的实数对 $m, n$ ，使 $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ ，则 $\vec{b} // \vec{c}$ C、若 $\vec{a} // \vec{b} // \vec{c}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | = | \vec{a} | + | \vec{b} | + | \vec{c} |$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$

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10. 给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）

A、平均数为3 B、标准差为 $\frac{8}{5}$ C、众数为2和3 D、第85百分位数为4.5

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11. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（）

A、“至少有一个黑球”与“都是黑球” B、“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C、“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D、“至少有一个黑球”与“都是红球”

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12. 如图， $A C$ 为圆锥 $S O$ 底面圆 $O$ 的直径，点 $B$ 是圆 $O$ 上异于 $A$ ， $C$ 的动点， $S O = O C = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、圆锥 $S O$ 的侧面积为 $8 \sqrt{2} π$ B、三棱锥 $S - A B C$ 体积的最大值为 $\frac{8}{3}$ C、 $∠ S A B$ 的取值范围是 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ D、若 $A B = B C$ ， $E$ 为线段 $A B$ 上的动点，则 $S E + C E$ 的最小值为 $2 (\sqrt{3} + 1)$

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三、填空题

13. 已知等边 $Δ A B C$ ， $D$ 为 $B C$ 中点，若点 $M$ 是 $Δ A B C$ 所在平面上一点，且满足 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{C M} =$ .

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14. 一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为 $\sqrt{3} π$ ，则该圆锥的表面积为.

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15.
如图所示：四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，给出下列结论：
①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；
④AB与SC所成的角的等于DC与SA所成的角；
其中正确结论的序号是．（把你认为所有正确结论的序号都写在上）

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16. 某工厂有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个车间， $A$ 车间有600人， $B$ 车间有500人.若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中 $B$ 车间10人，则样本中 $C$ 车间的人数为

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四、解答题

17. 设 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ .

(1)、若 $(\vec{a} - λ \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(2)、若 $\vec{m} = x \vec{a} + y \vec{b} (x, y \in R)$ ，且 $| \vec{m} | = 2 \sqrt{3}$ ， $\vec{m}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，求 $x$ ， $y$ 的值.

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c \cos A + a \cos C = 3 a$ .

(1)、求 $\frac{a}{b}$ 的值：

(2)、若 $a = 1$ ， $c = \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的面积.

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19. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的侧面 $S A D$ 是正三角形， $A B // C D$ ，且 $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2 C D = 4$ ， $E$ 是 $S B$ 中点.

(1)、求证： $C E //$ 平面 $S A D$ ；

(2)、若平面 $S A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $S B = 4 \sqrt{2}$ ，求多面体 $S A C E$ 的体积.

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20. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，点E是CD的中点，将△DAE沿线段AE折起到PAE的位置，F为PB的中点．

(1)、证明： $C F / /$ 平面PAE；

(2)、若PB＝2 $\sqrt{3}$ ，求证：平面PAE⊥平面ABCE．

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21. 有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的 $1.00 p p m$ （即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位： $p p m$ ），数据统计如下：
$\begin{array}{l} 0.07 0.24 0.39 0.54 0.61 0.66 0.73 0.82 0.82 0.82 \\ 0.87 0.91 0.95 0.98 0.98 1.02 1.02 1.08 1 .14 1 .20 \\ 1.20 1.26 1.29 1.31 1.37 1.40 1.44 1.58 1 .62 1 .68 \end{array}$

(1)、求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的80%分位数；

(2)、有 $A$ ， $B$ 两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼.
（ⅰ）将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入 $A$ 水池和 $B$ 水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有 $\frac{1}{3}$ 的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；

（ⅱ）将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入 $A$ 水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由 $A$ 水池进入 $B$ 水池且不再游回 $A$ 水池，求这两条鱼由不同小孔进入 $B$ 水池的概率.

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22. 习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取

n

位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分

100

分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：

调查评分	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
心理等级	有隐患		一般		良好	优秀

并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在 $[70 ， 80)$ 的市民为 $400$ 人.

(1)、求

n

的值及频率分布直方图中

t

的值；

(2)、在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取3人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在

[40 ， 50)

的市民心理等级转为 “良好”的概率为

\frac{1}{4}

，调查评分在

[50 ， 60)

的市民心理等级转为“良好”的概率为

\frac{1}{3}

，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的

3

人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?

(3)、心理调查机构与该市管理部门设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于0.8则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)

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