2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）

试卷更新日期：2021-06-10 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则C_u（MUN）=（）

A、{5} B、{1,2} C、{3,4} D、{1,2,3,4}

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2. 设iz=4+3i，则z等于（）

A、-3-4i B、-3+4i C、3-4i D、3+4i

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3. 已知命题p： $\exists$ x∈R，sinx＜1；命题q： $\forall$ x∈R， e^|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）

A、p $\land$ q B、 $\neg$ p $\land$ q C、p $\land \neg$ q D、 $\neg$ (pVq)

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4. 函数f（x）=sin $\frac{x}{3}$ +cos $\frac{x}{3}$ 的最小正周期和最大值分别是（）

A、3 $π$ 和 $\sqrt{2}$ B、3 $π$ 和2 C、 $6 π$ 和 $\sqrt{2}$ D、 $6 π$ 和2

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5. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 4 \\ x - y \leq 2 \\ y \leq 3 \end{matrix}$ ，则z=3x+y的最小值为（）

A、18 B、10 C、6 D、4

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6. $\cos^{2} \frac{π}{12} - \cos^{2} \frac{5 π}{12} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 在区间(0, $\frac{1}{2}$ )随机取1个数，则取到的数小于 $\frac{1}{3}$ 的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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8. 下列函数中最小值为4的是（）

A、 $y = x^{2} + 2 x + 4$ B、 $y = | \sin x | + \frac{4}{| \sin x |}$ C、 $y = 2^{x} + 2^{2 - x}$ D、 $y = \ln x + \frac{4}{\ln x}$

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9. 设函数 $f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ ，则下列函数中为奇函数的是（）

A、 $f (x - 1) - 1$ B、 $f (x - 1) + 1$ C、 $f (x + 1) - 1$ D、 $f (x + 1) + 1$

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10. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为B₁D₁的中点，则直线PB与AD₁所成的角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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11. 设B是椭圆C： $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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12. 设a≠0，若x=a为函数 $f (x) = a {(x - a)}^{2} (x - b)$ 的极大值点，则（）

A、a＜b B、a＞b C、ab＜a² D、ab＞a²

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则λ=.

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14. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为.

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15. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 $\sqrt{3}$ ，B=60°，a²+c²=3ac，则b=.

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16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. 某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备	9.8	10.3	10.0	10.2	9.9	9.8	10.0	10.1	10.2	9.7
新设备	10.1	10.4	10.1	10.0	10.1	10.3	10.6	10.5	10.4	10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ ，样本方差分别记为s₁²和s₂²

(1)、求

\bar{x}

，

\bar{y}

， s₁² ， s₂²；

(2)、判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果

\bar{y}

\bar{x}

≥

2 \sqrt{\frac{s_{1}^{2} + s_{2}^{2}}{2}}

，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

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18. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD $⊥$ 底面ABCD，M为BC的中点，且PB $⊥$ AM.

(1)、证明：平面PAM $⊥$ 平面PBD；

(2)、若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积.

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19. 设 ${a_{n}}$ 是首项为1的等比数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{n a_{n}}{3}$ ，已知 $a_{1}$ ，3 $a_{2}$ ，9 $a_{3}$ 成等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别为 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前n项和.证明： $T_{n}$ < $\frac{S_{n}}{2}$ .

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20. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ (p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)、求C的方程.

(2)、已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 $\vec{P Q} = 9 \vec{Q F}$ ，求直线OQ斜率的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} + a x + 1$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 过坐标原点的切线与曲线 $y = f (x)$ 的公共点的坐标.

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四、[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系xOy中， $⊙$ C的圆心为C（2，1），半径为1.

(1)、写出 $⊙$ C的一个参数方程；

(2)、过点F（4，1）作 $⊙$ C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.

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五、[选修4-5：不等式选讲]

23. 已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.

(1)、当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；

(2)、若f（x）≥-a，求a的取值范围.

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